Geometrické útvary

Geometrické útvary

Množina bodov na priamke, v rovine alebo v priestore predstavuje geometrický útvar. Jeho základnou vlastnosťou  je tvar, ale jeho veľkosť nie je  podstatná.

Izolovanú oblasť v rovine nazývame obrazec, uzavretú oblasť v priestore  nazývame teleso. Hranicu obrazca označujeme obvod, hranicu telesa označujeme povrch. Základné geometrické útvary sú útvary, z ktorých sa odvodzujú ďalšie geometrické útvary.

Základné rovinné geometrické útvary

Časť geometrie, ktorá sa zaoberá základnými rovinnými útvarmi, sa nazýva planimetria. Medzi základné rovinné geometrické útvary patria štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec,  rovnobežník, trojuholník, lichobežník a kruh.

Štvorec

Štvorec je pravidelný štvoruholník, ktorý má susedné strany rovnako dlhé a sú navzájom kolmé. Jeho uhly sú pravé a  uhlopriečky sa rozpoľujú, pričom sú rovnako dlhé. Ak počítame obvod štvorca, stačí nám vziať jednu stranu štvorca a vynásobiť ju štyrmi (počtom strán): O = 4a. Obsah štvorca sa vypočíta vynásobením dvoch strán, čiže S = 2 a2.

Obdĺžnik

Obdĺžnik je rovnobežník, ktorého susedné strany nie sú rovnako dlhé, ale sú navzájom kolmé. Jeho protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné a každé dve susedné strany obdĺžnika zvierajú navzájom pravý uhol. Jeho uhlopriečky sa rozpoľujú a sú rovnako dlhé. Obvod obdĺžnika je O = 2 (a + b) a obsah S = a . b.

Kosoštvorec

Kosoštvorec je rovnobežník, ktorý má všetky strany rovnako dlhé a susedné strany nie sú na seba kolmé. Jeho protiľahlé uhly sú zhodné. Uhlopriečky sa rozpoľujú a sú na seba kolmé. Obvod kosoštvorca je: O = 4a, obsah je S = a.va alebo S = .

Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, v ktorom sú obidve dvojice protiľahlých strán zhodné a rovnobežné, a protiľahlé uhly sú tiež zhodné. Jeho  uhlopriečky sa rozpoľujú a protiľahlé uhly majú rovnakú veľkosť. Jeho obvod je: O = (a + b) a obsah je S = a.va.

Trojuholník

Trojuholník je mnohouholník s troma vrcholmi. Podľa veľkosti strán delíme trojuholníky na: všeobecné,  rovnoramenné a rovnostranné. Všeobecný trojuholník má rozličnú veľkosť strán a trojuholník nie je pravouhlý.  Rovnoramenný trojuholník má dve strany rovnako veľké a uhly pri základni sú rovnaké. Rovnostranný trojuholník má všetky strany zhodné a každý uhol má 60 stupňov.

Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla delíme trojuholníky na: ostrouhlé (každý uhol menší ako 90 stupňov), tupouhlé (jeden z uhlov väčší ako 90 stupňov) a pravouhlé (jeden uhol má 90 stupňov). Pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť, čiže súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany (a + b > c,  b + c > a,  a + c > b).

Lichobežník

Lichobežník je štvoruholník, v ktorom je jedna dvojica protiľahlých strán rovnobežná a druhá dvojica je rôznobežná. V lichobežníku sa uhlopriečky nerozpoľujú. Typy lichobežníkov: rôznoramenný (všetky štyri strany majú rôznu dĺžku) , rovnoramenný (obidve ramená sú rovnako dlhé) a pravouhlý (jeden uhol má presne 90 stupňov). Obvod lichobežníka je: O = a + b + c, obsah je S =  .

Kruh

Kruh je množina všetkých bodov v rovine, ktoré od bodu (S - stred kruhu) v rovine majú vzdialenosť menšiu alebo takú, ktorá sa rovná polomeru r. Hranicu kruhu tvorí kružnica a je podmnožinou kruhu. Kruh je plocha ohraničená kružnicou vrátane nej samej. Obvod kruhu je O = 2πr a obsah je S = πr2.

Základné priestorové geometrické útvary

Časť geometrie, ktorá sa zaoberá priestorovými geometrickými útvarmi, sa nazýva stereometria. Medzi základné priestorové geometrické útvary patria kocka, kváder, hranol, ihlan, valec, kužeľ a guľa.

Kocka

Kocka alebo pravidelný šesťsten je trojrozmerné teleso (mnohosten) a steny sú tvorené šiestimi rovnakými štvorcami. Je špeciálnym prípadom kvádra, ktorého všetky hrany majú rovnakú dĺžku. Kocka patrí medzi tzv. platónske telesá, lebo má zhodné všetky strany a hrany. Povrch kocky je S = 6 a2, objem je V = a3.

Rubikova kocka

Rubikova kocka je mechanický hlavolam (viď príloha č.1.), ktorý roku 1974 vynašiel maďarský sochár a architekt Ernő Rubik. Rubikova kocka je plastová kocka a skladá z menších rôznofarebných kociek. Malé kocky sú spojené pohyblivým mechanizmom, ktorý ju umožňuje otáčať o násobok 90 stupňov. Rubikova kocka má v zloženom stave každú stranu jednej farby. Úlohou je poskladať kocku po rozhraní jednotlivých farieb do pôvodného stavu. ,,Doteraz sa predalo viac než 200 Rubikových kociek. Po útlme koncom 80. a začiatkom rokov 90. sa Rubikova kocka znovu vracia na pulty predajní.“

Kváder

Kváder je trojrozmerné teleso (mnohosten), ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov (väčšinou obdĺžnikov, ale existujú aj špeciálne prípady). Jeho podstavou je obdĺžnik. Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú označené ako dĺžka, šírka a výška kvádra. Povrch kvádra je S = 2 (ab + bc + ac), objem je V = abc.

Hranol

Hranol je mnohosten, ktorého dve steny ležia v rovnobežných rovinách. Tieto dve steny označujeme ako podstavy. Ostatné, bočné steny tvoria plášť hranola. Povrch hranola je tvorený všetkými jeho stenami. Strany podstavy hranola nazývame podstavnými hranami. Hrany, ktoré nie sú podstavnými,  nazývame bočné hrany.  Kolmý hranol je teleso, ktorý má bočné hrany kolmé na roviny podstáv, tvorené mnohouholníkom (podľa toho, koľko strán majú podstavy, môže byť hranol trojboký, štvorboký a päťboký). Povrch hranola je S =2 Sp + Spl, objem je V = Sp .Vh.

Ihlan

Ihlan je teleso, v ktorom sú rohy rovinného mnohouholníka (základne) priamočiaro spojené s nejakým bodom (vrchol ihlana) nachádzajúcim sa mimo roviny tohto mnohouholníka. Špeciálnymi druhmi ihlana sú kvadratický ihlan, ktorého základňou je štvoruholník, a tetraéder, ktorého základňa je trojuholník. Pravidelný ihlan je teleso, ktorého základňa je pravidelný mnohouholník a vrchol sa nachádza nad jeho stredom. Povrch ihlana je S = Sp + Spl , objem je V =  Sp . v. 

Valec

Valec je oblé teleso, ktoré získame ako prienik valcového priestoru a rovinnej vrstvy. Rotačný valec je teleso s rovnobežnými kruhovými podstavami rovnakého polomeru a výška valca je kolmá na roviny podstáv. Povrch valca je S = 2 S + Q, objem je V = S . v.

Kužeľ

Kužeľ je oblé teleso, ktoré získame ako prienik kužeľovitého priestoru a rovinnej vrstvy. Kruhový kužeľ je taký, ktorého podstavou je kruh a rotačný kužeľ vznikne, ak kolmica spustená z vrcholu na rovinu podstavy prechádza stredom podstavy kruhového kužeľa. Povrch kužeľa je S = πr (r + s), objem je V = πr2 . v .

Guľa

Guľa je množina všetkých bodov trojrozmerného priestoru, ktoré majú od stredu S vzdialenosť menšiu alebo rovnakú ako polomer r. Povrch gule je S = 4πr2, objem je V = πr3.