Cavalieriho princíp

Cavalieriho princíp
Dve telesá s podstavami rovnakého obsahu ležia v spoločnej rovine ρ  a majú rovnakú výšku. Ak každá rovina ρ´, rovnobežná s rovinou ρ, pretína obe telesá v rovinných útvaroch rovnakého obsahu, potom majú obe telesá rovnaký objem.

Cavalieriho princíp dobre ilustruje názorná predstava o rovnakých minciach, ktoré sú poukladané do tvaru valca – jedna nad druhou. Ak vysunieme zopár mincí do strany, zmení sa tvar telesa, avšak objem telesa sa nezmení, pretože každá minca má svoje stále rozmery. Uvedený princíp je možné aplikovať aj na rovinné útvary, kedy sa porovnáva miera odpovedajúcich si úsečiek.

Známy vzťah pre výpočet objemu ľahko zdôvodníme pomocou Cavalieriho princípu. Ľubovoľná rovina r rovnobežná s rovinou podstáv pretne hranol práve vtedy, keď pretína kváder. Pritom rez kvádra je obdĺžnik zhodný s podstavou kvádra a rez hranola je mnohouholník zhodný s podstavou hranola. Pretože podstavy oboch telies majú ten istý obsah, platí to aj pre obsahy rezov oboch telies. To podľa Cavalieriho princípu znamená, že daný n-boký hranol má ten istý objem ako daný kváder a môžeme ho vypočítať tým istým spôsobom ako objem kvádra.