Ludolfovo číslo alebo "pí"

Ludolfovo číslo alebo "pí"  

Úvod

Téma π – Ludolfovo číslo pre mňa bola lákavá z niekoľkých dôvodov. Som z matematickej triedy, takže číslam sa venujem možno o trochu viac ako je normou. S číslom π počítam často, či už v matematike alebo fyzike a podľa mňa je fascinujúce. Určite stojí za to dozvedieť sa o ňom viac, preto som sa rozhodla vypracovať túto tému a rozšíriť tak svoje i vaše obzory o jeho histórii, vlastnostiach a využití. 

1 Ludolfovo číslo

Ludolfovo číslo je matematická konštanta definovaná ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Jeho približná hodnota je 3,14. Veľa matematických, vedeckých, fyzikálnych a inžinierskych rovníc obsahuje π, čo z neho robí jednu z najdôležitejších matematických konštánt. Ludolfovo číslo je transcendentné a iracionálne. Pomenované je podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulena.

1.1 Značenie

Na zápis Ludolfovho čísla sa používa malé písmeno pí gréckej abecedy, často sa týmto znakom aj pomenúva. Grécke písmeno pre označenie tohto čísla po prvý raz použil velšský matematik William Jones v roku 1706 ako skratku gréckeho slova „obvod“, grécky: περίμετρος. Toto označenie spopularizoval v roku 1737 Leonhard Euler.

1.2 Transcendentné číslo

Transcendentné číslo je komplexné číslo, ktoré nie je koreňom žiadnej algebrickej rovnice s racionálnymi koeficientmi. Každé transcendentné číslo je iracionálne.

1.3 Iracionálne číslo

Iracionálne číslo je každé reálne číslo, ktoré nemôže byť vyjadrené zlomkom , kde m, n sú celé čísla, pričom n je nenulové. Tiež to znamená, že nemá ukončený desatinný ani periodický rozvoj.

Ludolph van Ceulen (obr. č. 2) sa narodil 28. januára 1540 v meste Hildesheim v Nemecku, ale ako mnoho ďalších v tej dobe emigroval z Nemecka do Holandska kvôli katolíckemu útlaku. Najprv sa usadil v meste Delft, kde vyučoval šerm a matematiku. V roku 1594 si otvoril šermiarsku školu v Leidene. V roku 1600 bol menovaný prvým profesorom matematiky na Leidenskej univerzite.

Učil aritmetiku a vojenské staviteľstvo. Napísal niekoľko práci, jedna z najdôležitejších bola „Van den Circkel“, v preklade „O kruhu“. Je preslávený svojim výpočtom π, ktoré spočítal na 35 desatinných miest pomocou mnohouholníka s počtom strán , čím sa zaslúžil o to, že je π pomenované po ňom. Strávil týmto výpočtom väčšinu svojho života a výsledok svojej práce má dokonca vyrytý na náhrobnom kameni. Zomrel 31. decembra 1610 v holandskom Leidene.

2 História

Ľudstvo využíva kruhové objekty už veľmi dlho. Začalo to v Mezopotámii zhruba pred 6000 rokmi, keď neznámy mezopotámsky vynálezca učinil veľký objav a vynašiel koleso. Odvtedy sa začali objavovať kladky, valce, hrnčiarske kruhy a ďalšie nástroje, ktoré prispievali k rozvoju ľudstva a napomáhali ľuďom pri práci. A rady učencov, vynálezcov a matematikov začalo zamestnávať hľadanie výpočtu obvodu kruhu. Akým spôsobom postupovali?

Najstaršou metódou bolo porovnanie obvodov štvorca opísaného a vpísaného kružnici. Za obvod kruhu bol potom považovaný aritmetický priemer týchto obvodov. Bol o čosi väčší než trojnásobok priemeru kruhu – nebol to príliš presný výsledok, avšak pre väčšinu vtedajších výpočtov stačil.
V rôznych kultúrach postupom času prichádzali na rozličné spôsoby počítania a na čoraz presnejšie hodnoty záhadnej konštanty.

2.1 Egyptská matematika

Jednu z najstarších metód výpočtu obsahuje Rhindov papyrus, ktorý bol objavený v roku 1858 a pochádza z doby 1650 rokov pred našim letopočtom. Obsah kruhu s priemerom d je tu určený ako: čo nás vedie k hodnote π = 3,1605.

2.2 Babylonská matematika

Starí babylonskí kňazi pracovali namiesto so štvorcami s šesťuholníkmi a dvanásťuholníkmi. Strany týchto mnohouholníkov ku kruhu lepšie priliehali, a preto bol výpočet obvodu kruhu presnejší. Priblížili sa k hodnote π = 3,125.
Keď Babylončania dospeli k číslu, ktoré udáva pomer dĺžky kružnice k dĺžke jej priemeru, tak zistili, že toto číslo je konštantné a nezávislé na dĺžke kružnice.

2.3 Indická matematika

Okolo roku 500 pred našim letopočtom sa v posvätných knihách Džinových udáva hodnota π ako , čo je zhruba 3,162. Avšak za jedného z najvýznamnejších indických matematikov doby okolo 500 nášho letopočtu sa považuje Árjabhata I., ktorý odhadol hodnotu π  na 3,1416.

2.4 Grécka matematika

Prvý teoretický výpočet urobil Archimedes, ktorý žil 287-212 pred našim letopočtom. Využíval mnohouholníky vpísané a opísané kružnici. Používal mnohouholníky s 12, neskôr 24, 48 a nakoniec až s 96 stranami. Podarilo sa mu tak dostať hornú a dolnú hranicu pre π. Teda zistil, že sa bude nachádzať niekde medzi  a , čiže zhruba medzi 3,1408 a 3,1428.

2.5 Rímska matematika

V Ptolemaiových dielach nachádzame hodnotu π  = = 3,14166.

2.6 Čínska matematika

Učenec Ču Čchung Ťi, ktorý žil v rokoch 430-501 určil π ako , čo je približne 3,14159292.

2.7 Renesancia a novovek

Počas európskej renesancie sa namiesto ohromne náročnej Archimedovej metódy začínajú hľadať vzorce na výpočet π pomocou čiastočného súčtu rozvoju nekonečných radov. Vzorce boli postupne nájdené a potom už išlo len o to, koľko času bol kto ochotný stráviť nad výpočtami. Neskôr ručné počítanie nahradila práca počítačov. V nasledujúcej tabuľke môžeme sledovať pokrok v priebehu rokov

3 Výpočty

3.1 Ručné výpočty

Na výpočty sa používajú nekonečné rady. Jeden z nich je Wallisov súčin z roku 1655: Známy je tiež Madhavov-Leibnizov alebo Gregoryho-Leibnizov rad zo 17. storočia:

3.2 Počítačové výpočty

Na začiatku 20. storočia vymyslel indický matematik Srinivasa Ramanujan viacero vzorcov na výpočet, medzi nimi napríklad aj:

Zaujímavý je Baileyho-Borweinov-Plouffeov vzorec, ktorý v roku 1995 vyvinul Simon Plouffe: Pomocou tohto vzorca dokážeme určiť n-tú binárnu hodnotu π bez počítania tých predchádzajúcich. V roku 2000 sa zistilo, že biliardtý bit π má hodnotu 0.

4 Využitia v matematike

4.1 Kruh, guľa

Jedným z najčastejších využití Ludolfovho čísla v matematike je výpočet odvodu a obsahu kruhu pomocou týcho vzorcov: o=  πd= 2πr  a  S= π.
A tiež výpočet povrchu a objemu gule:  S= π=4π a  V=.

4.2 Pravdepodobnosť

Ludolfovo číslo sa vyskytuje aj v pravdepodobnostiach. Napríklad: Pravdepodobnosť, že dve náhodne zvolené celé čísla sú nesúdeliteľné, je  .

4.3 Goniometrické funkcie

Pomocou jednotkovej kružnice môžeme vidieť, že 180° je rovné π radiánom, a teda 1° =  rad. Radián je definovaný ako rovinný uhol, ktorý s vrcholom v strede kružnice vytína na obvode tejto kružnice oblúk dĺžky rovnajúcej sa jej polomeru. Keďže obvod tejto kružnice je 2πr, uhol, ktorý jeden raz "obtáča" kružnicu, má veľkosť 2π.

5 Desatinné miesta

5.1 Rekordy

V dnešných dňoch je už počet známych desatinných miest Ludolfovho čísla rekordných 5 biliónov. Tento rekord vytvoril Šigeru Kondo z Japonska. Celý výpočet  trval dokopy 90 dní a 7 hodín.
 
Ďaľším držiteľom rekordu je japonský inžinier Akira Haraguši, ktorý vie spamäti odrecitovať prvých 100 000 desatinných miest Ludolfovho čísla. Tento rekord však nebol uznaný Guinessovou knihou rekordov, takže oficiálnym držiteľom rekordu je stále Lu Chao so svojimi 67 890 číslicami, ktoré recitoval 24 hodín a 4 minúty.

5.2 Pomôcky

Existuje viacero pomôcok ako si zapamätať čo najviac desatinných miest Ludolfovho čísla, medzi populárne patria napríklad básničky, kde dĺžka každého slova reprezentuje číslo. Existujú v rôznych jazykoch a niektoré z nich si ukážeme:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy chapters involving quantum mechanics.

(14 číslic za desatinnou čiarkou)
Mám, ó Bože, ó velký, pamatovat si takový cifer řád, velký slovutný Archimedes, pomáhej trápenému, dej mu moc, nazpaměť nechť odříká ty slavné sice, ale tak protivné nám, ach, číslice Ludolfovy!
(30 číslic za desatinnou čiarkou)
Cadaeic Cadenzo dokonca vymyslel báseň, ktorá takto vyjadruje prvých 383 čísel.
 
Ako sme mali možné odskúšať si, nie je to až taká ťažká práca:
Aha, i sami  a ľahko vytvoríme si rýchlo peknú ale, dobrú básničku, nápomocnú všetkým študentom. (14 číslic za desatinnou čiarkou)

Záver

Pri pohľade do histórie π som bola príjemne prekvapená, ako presne sa darilo v dávnejších dobách vypočítať mnohé desatinné miesta Ludolfovho čísla. Takisto ma zaujali rôzne použité metódy, či už ručné alebo počítačové, pretože predtým som vlastne nevedela, ako rôzne sa s π dá pracovať.

Myslím si, že každý, kto vie o Ludolfovom čísle aspoň málo, ostane fascinovaný. A úplne oprávnene. Podľa mňa je to jedno z najzaujímavejších čísel v matematike a používa sa tak často, že je dobré vedieť o ňom niečo viac, nielen, že jeho približná hodnota je 3,14. Dúfam, že vám v tomto moja práca pomohla rovnako ako mne.

Príloha č. 2 – π na viacero desatinných miest

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955 3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542  5688767179   0494601653  4668049886 2723279178...