21. Mechanické kmitanie

21. Mechanické kmitanie

• kmit – periodicky sa opakujúca časť kmitavého pohybu (oscilátor sa po určitom čase vždy dostáva do rovnakej polohy)
• perióda – čas za ktorý sa vykoná 1 kmit, jednotkou je sekunda
• frekvencia – počet kmitov za 1 sekundu, jednotkou je hertz
• rovnovážna poloha – miesto, ktorému zodpovedá nulová okamžitá výchylka

- ak je teleso v rovnovážnej polohe, výsledná sila, ktorá na neho pôsobí je nulová

- túto rovnovážnu polohu si volíme za začiatok súradnicovej sústavy pri opise kmitania

• amplitúda – najväčšia hodnota okamžitej výchylky
• kinematická rovnica kmitavého pohybu – opisuje okamžitú výchylku HB a získame ju na základe analógie s pohybom po kružnici

y = y_m . sin . ( ω . t + φ ₀ )

• y – okamžitá výchylka
• y_{m –} amplitúda
• ω – uhlová frekvencia
• φ _{0 –} začiatočná fáza, udáva výchylku HB v čase 0 s
• ( ω . t + φ ₀ ) - fáza kmitavého pohybu
• fáza – udáva okamžitá výchylka HB v ľubovolnom čase
• sínusoida – časový priebeh kmitania

• rýchlosť kmitavého pohybu - je maximálna v rovnovážnej polohe (φ = 0° => cos φ = 1) a minimálna v amplitúdach (φ = 90°; 270° => cos φ = 0) => kmitavý pohyb je nerovnomerný (rýchlosť sa mení)

 v = ω . y_m . cos . ( ω . t + φ ₀ )

• zrýchlenie kmitavého pohybu – je maximálne v amplitúdach a nulové v rovnovážnej polohe => smerom do amplitúdy teleso spomaľuje a smerom do rovnovážnej polohy zrýchľuje
• zrýchlenie – má vždy opačný smer ako výchylka respektívne smeruje vždy do rovnovážnej polohy

• fázor a fázorový diagram :

• fázor – grafické znázornenie veličiny opisujúcej kmitavý dej, je to vektor, ktorého veľkosť sa rovná amplitúde danej veličiny
• jeho začiatok leží v začiatku súradnicovej sústavy s osou x zviera fázu kmitavého pohybu alebo uhol φ a rotuje okolo začiatku súradnicovej sústavy uhlovou rýchlosťou
• priemet fázora do zvislej osi znázorňujeme okamžitú hodnotu danej fyzikálnej veličiny

 

│φ│= y_m

• 
  fázorový diagram – vhodný na vyjadrenie fázových rozdielov rôznych fyzikálnych veličín opisujúcich kmitanie
• 
  skladanie izochrónych kmitov – izochronné kmitania s rovnakou uhlovou frekvenciou

- y = y ₁ + y ₂

- výsledné kmitanie má rovnakú frekvenciu ako obe zložky

• amplitúda závisí od fázového rozdielu zložiek :

1) Δφ = 0 => maximum (zosilujú sa), zložky majú rovnakú fázu

y_m = y _m1 + y _m2 φ ₀ = φ ₀₁ + φ ₀₂

• 2) Δφ = π => minimum (zoslabujú sa), zložky majú opačnú fázu

y_m = │y _m1 - y _m2│

• začiatočná fáza výsledného kmitu je rovnaká ako začiatočná väčšej zložky
• špeciálny prípad nastáva, ak majú zložky rovnako veľké amplitúdy => kmit zaniká

• dynamika kmitavého pohybu – na oscilátor pôsobia dve sily:

1) gravitačná sila – smerom nadol

2) sila pružnosti – smerom nahor, ktorá závisí od predĺženia pružiny

F_g = m . g F_p = k . Δ l

• k – tuhosť pružiny – fyzikálna veličina, ktorá udáva silu, ktorá spôsobí predĺženie danej pružiny o 1 meter, v rovnovážnej polohe sa tieto 2 sily kompenzujú => teleso je v pokoji

m . g = k . Δ l

• ak teleso vychýlime z rovnovážnej polohy výslednica týchto 2 síl bude nenulová a bude smerovať do rovnovážnej polohy => teleso sa bude pohybovať smerom do rovnovážnej polohy

 F = F_g – F_p = m . g – k . (Δ l - y) = m . g – k . Δ l – k .y = - k . y

• výsledná sila, ktorá spôsobuje kmitanie oscilátora závisí od jeho okamžitej výchylky

• tlmené kmitanie – koná oscilátor vtedy, ak odovzdáva časť energie okoliu => amplitúda sa zmenšuje až kmitanie zanikne (reálny oscilátor kmitá vždy tlmene)

• netlmené kmitanie – koná oscilátor vtedy, ak je jeho energia konštantná
• vlastné kmitanie – koná oscilátor vtedy, ak naň nepôsobí žiadna vonkajšia sila

- frekvencia a perióda závisia len od parametrov oscilátora – hmotnosť závažia a tuhosť pružiny

ω ₀ = √ k / m f ₀ = 1 / 2π . √ k / m

T ₀ = 2π . √ m / k

• vynútené kmitanie – koná oscilátor vtedy, ak naň pôsobí vonkajšia vynucovacia sila aby nútené kmitanie bolo harmonické, vynucovacia sila musí byť tiež harmonická s rovnakou uhlovou frekvenciou akou kmitá oscilátor

F = F _m . sin . ω . t

• rezonancia – nastáva, ak sa frekvencia vynucovacej sily rovná vlastnej frekvencii

- pri rezonančnej frekvencii sa kmitanie výrazne zosilňuje (amplitúda sa výrazne zväčší)

- na rezonanciu potrebujeme dva oscilátory – jeden, ktorý je zdrojom núteného a vyvoláva harmonickú frekvenciu a druhý, ktorý sa rozkmitá vplyvom vonkajšej sily – rezonátor

• 
  energia mechanického oscilátora – na rozkmitanie oscilátora musíme vychýliť z rovnovážnej polohy => musíme konať prácu, ktorá sa premení na mechanickú energiu oscilátora

 E = W = ½ y _m . F _m = ½ y _m . k . y _m = ½ k . y _m²

• po uvoľnení telesa sa začne hýbať do rovnovážnej polohy => výchylka sa zmenšuje, čím sa zmenšuje aj potenciálna energia a rýchlosť sa zväčšuje, čím sa zväčšuje kinetická energia => pri kmitaní dochádza k premene E _k na E _p a späť

 E _p = E _k

½ k . y _m² = ½ m . v _m²