Izotermický dej – vysvetlenie, Boyleov-Mariottov zákon, grafy a práca plynu

Izotermický dej – vysvetlenie, Boyleov-Mariottov zákon, grafy a práca plynu

Izotermický dej patrí medzi základné tepelné deje v plynoch. Je to dej, pri ktorom sa mení tlak a objem plynu, ale jeho teplota zostáva konštantná. Závislosť medzi tlakom a objemom opisuje Boyleov-Mariottov zákon.

Tepelné deje v plynoch

Stav plynu opisujeme pomocou troch základných stavových veličín:

• Tlak (p) – vyjadruje silové pôsobenie plynu na jednotku plochy stien nádoby. Jeho základnou jednotkou je pascal (Pa).
• Objem (V) – vyjadruje veľkosť priestoru, ktorý plyn zaberá. Jeho základnou jednotkou je meter kubický (m³).
• Termodynamická teplota (T) – charakterizuje tepelný stav plynu. Jej základnou jednotkou je kelvin (K).

Vzájomnú závislosť tlaku, objemu a teploty ideálneho plynu s konštantným látkovým množstvom vyjadruje stavová rovnica ideálneho plynu:

p · V = n · R · T

Kde:

• p – tlak plynu,
• V – objem plynu,
• n – látkové množstvo plynu,
• R – molárna plynová konštanta,
• T – termodynamická teplota.

Pre plyn s konštantným látkovým množstvom môžeme stavovú rovnicu zapísať aj v tvare:

(p · V) / T = konštanta

Pri tepelných dejoch sa jednotlivé stavové veličiny menia. Podľa podmienok, za ktorých dej prebieha, rozlišujeme niekoľko druhov tepelných dejov.

Základné tepelné deje

• Izotermický dej – teplota plynu zostáva konštantná (T = konštanta).
• Izobarický dej – tlak plynu zostáva konštantný (p = konštanta).
• Izochorický dej – objem plynu zostáva konštantný (V = konštanta).
• Adiabatický dej – plyn si s okolím nevymieňa teplo (Q = 0).

1. Čo je izotermický dej?

Izotermický dej je tepelný dej, pri ktorom sa mení tlak a objem plynu, pričom jeho termodynamická teplota zostáva konštantná.

Základná podmienka izotermického deja:

T = konštanta

Pri izotermickom deji sa môžu vyskytnúť dva základné procesy:

• Izotermická expanzia (rozpínanie plynu) – objem plynu sa zväčšuje a jeho tlak klesá.
• Izotermická kompresia (stláčanie plynu) – objem plynu sa zmenšuje a jeho tlak rastie.

Počas oboch procesov zostáva teplota plynu nezmenená. Aby to bolo možné, plyn si musí podľa potreby vymieňať teplo s okolím.

Príklad izotermického deja z praxe

Predstavme si vzduch uzavretý vo valci s pohyblivým piestom. Ak piest pomaly zatláčame dovnútra, objem vzduchu sa zmenšuje a jeho tlak rastie. Ak pritom vzduch odovzdáva okoliu dostatočné množstvo tepla, jeho teplota môže zostať konštantná.

Naopak, ak sa piest pomaly vysúva, vzduch zväčšuje svoj objem a jeho tlak klesá. Aby sa pri rozpínaní neznižovala teplota, musí vzduch prijímať teplo z okolia.

2. Boyleov-Mariottov zákon

Závislosť tlaku plynu od jeho objemu pri konštantnej teplote vyjadruje Boyleov-Mariottov zákon.

Znenie zákona: Pri izotermickom deji s ideálnym plynom konštantnej hmotnosti je súčin tlaku a objemu plynu konštantný.

Matematický zápis:

p · V = konštanta

Pre dva rôzne stavy toho istého plynu platí:

p₁ · V₁ = p₂ · V₂

Kde:

• p₁ – počiatočný tlak plynu,
• V₁ – počiatočný objem plynu,
• p₂ – konečný tlak plynu,
• V₂ – konečný objem plynu.

Z Boyleovho-Mariottovho zákona vyplýva, že tlak plynu je nepriamo úmerný jeho objemu, pokiaľ sa teplota a množstvo plynu nemenia.

To znamená, že:

• Ak sa objem plynu zmenší na polovicu, jeho tlak sa zdvojnásobí.
• Ak sa objem plynu zdvojnásobí, jeho tlak klesne na polovicu.
• Ak sa objem plynu zmenší na tretinu, jeho tlak sa strojnásobí.

Táto závislosť platí pre ideálny plyn za predpokladu konštantnej teploty a konštantného množstva plynu.

3. Graf izotermického deja – izoterma

Grafom závislosti tlaku plynu od jeho objemu pri konštantnej teplote je krivka, ktorú nazývame izoterma.

Izoterma má tvar hyperboly, pretože tlak je nepriamo úmerný objemu.

V grafe:

• Na vodorovnej osi (x) je znázornený objem plynu V.
• Na zvislej osi (y) je znázornený tlak plynu p.
• Krivka vyjadruje zmenu tlaku pri zmene objemu za konštantnej teploty.

Pri pohybe po izoterme smerom doprava objem rastie a tlak klesá. Pri pohybe smerom doľava objem klesá a tlak rastie.

Izotermy pri rôznych teplotách

Pre ten istý plyn s rovnakým látkovým množstvom môžeme zostrojiť viacero izotermových kriviek, pričom každá zodpovedá inej konštantnej teplote.

Napríklad:

• T₁ = 300 K,
• T₂ = 600 K,
• T₃ = 900 K.

Pri rovnakom objeme má plyn s vyššou teplotou vyšší tlak. Preto sa izoterma zodpovedajúca vyššej teplote nachádza v grafe vyššie ako izoterma zodpovedajúca nižšej teplote.

4. Práca plynu pri izotermickom deji

Pri izotermickom deji sa môže vykonávať mechanická práca. Napríklad plyn uzavretý vo valci pôsobí na pohyblivý piest určitou silou a pri jeho posúvaní vykonáva prácu.

Práca pri rozpínaní plynu

Pri izotermickej expanzii plyn zväčšuje svoj objem a pôsobí na piest silou, ktorá spôsobuje jeho posunutie.

Plyn teda vykonáva prácu na svojom okolí. Aby pritom jeho teplota zostala konštantná, musí prijímať teplo z okolia.

Práca pri stláčaní plynu

Pri izotermickej kompresii pôsobí vonkajšia sila na piest, ktorý stláča plyn. Objem plynu sa zmenšuje a tlak rastie.

Okolie v tomto prípade vykonáva prácu na plyne. Na zachovanie konštantnej teploty musí plyn odovzdávať teplo okoliu.

Grafické znázornenie práce plynu

Práca vykonaná plynom sa v p-V diagrame rovná obsahu plochy pod izotermou medzi počiatočným a konečným objemom.

Keďže sa tlak počas izotermického deja mení, prácu nemôžeme vo všeobecnosti vypočítať jednoduchým súčinom jedného tlaku a zmeny objemu.

Pre izotermickú expanziu ideálneho plynu môžeme veľkosť práce vyjadriť vzťahom:

W = n · R · T · ln(V₂ / V₁)

Kde:

• W – práca vykonaná plynom,
• n – látkové množstvo plynu,
• R – molárna plynová konštanta,
• T – konštantná termodynamická teplota,
• V₁ – počiatočný objem plynu,
• V₂ – konečný objem plynu.

Pri expanzii je práca vykonaná plynom kladná, pri kompresii záporná. Uvedený vzťah využíva prirodzený logaritmus.

5. Prvý termodynamický zákon pri izotermickom deji

Prvý termodynamický zákon vyjadruje zákon zachovania energie pri tepelných dejoch.

Ak W označuje prácu vykonanú plynom, môžeme ho zapísať v tvare:

Q = ΔU + W

Kde:

• Q – teplo prijaté plynom,
• ΔU – zmena vnútornej energie plynu,
• W – práca vykonaná plynom.

Pri izotermickom deji ideálneho plynu zostáva teplota konštantná. Keďže vnútorná energia ideálneho plynu závisí iba od jeho teploty, nemení sa ani jeho vnútorná energia.

ΔU = 0

Po dosadení do prvého termodynamického zákona dostávame:

Q = W

To znamená, že pri izotermickom deji ideálneho plynu sa prijaté teplo rovná práci vykonanej plynom.

Čo to znamená pri rozpínaní a stláčaní?

• Pri izotermickej expanzii plyn prijíma teplo z okolia a premieňa ho na mechanickú prácu.
• Pri izotermickej kompresii sa na plyne vykonáva práca a plyn odovzdáva zodpovedajúce množstvo tepla okoliu.

V oboch prípadoch sa vnútorná energia ideálneho plynu nemení, pretože jeho teplota zostáva konštantná.

6. Podmienky izotermického deja

V reálnych podmienkach sa pri stláčaní plynu jeho teplota zvyčajne zvyšuje a pri rozpínaní bez dostatočného prívodu tepla môže klesať.

Ak chceme dosiahnuť izotermický dej, musíme zabezpečiť dostatočnú výmenu tepla medzi plynom a okolím.

Preto sa izotermické stláčanie alebo rozpínanie uskutočňuje dostatočne pomaly, aby sa teplota plynu priebežne vyrovnávala s teplotou okolia.

V praxi môžeme izotermický dej približne realizovať napríklad pomalým stláčaním vzduchu v striekačke, pričom medzi jednotlivými zmenami objemu necháme dostatok času na ustálenie teploty.

7. Vzorový príklad – výpočet tlaku pri izotermickom deji

Zadanie: Plyn má pri konštantnej teplote počiatočný tlak 100 kPa a objem 6 l. Určte, aký tlak bude mať plyn, ak sa jeho objem zmenší na 3 l.

Zápis

p₁ = 100 kPa
V₁ = 6 l
V₂ = 3 l
p₂ = ?

Riešenie

Využijeme Boyleov-Mariottov zákon:

p₁ · V₁ = p₂ · V₂

Vyjadríme neznámy tlak:

p₂ = (p₁ · V₁) / V₂

Dosadíme:

p₂ = (100 · 6) / 3

p₂ = 200 kPa

Odpoveď

Po zmenšení objemu plynu zo 6 l na 3 l sa jeho tlak pri konštantnej teplote zvýši na 200 kPa.

8. Zhrnutie – čo si zapamätať o izotermickom deji?

• Izotermický dej je tepelný dej, pri ktorom zostáva teplota plynu konštantná.
• Počas izotermického deja sa mení tlak a objem plynu.
• Tlak plynu je pri konštantnej teplote nepriamo úmerný jeho objemu.
• Boyleov-Mariottov zákon má tvar p · V = konštanta.
• Pre dva rôzne stavy plynu platí p₁ · V₁ = p₂ · V₂.
• Grafom závislosti tlaku od objemu je krivka nazývaná izoterma, ktorá má tvar hyperboly.
• Práca vykonaná plynom sa rovná obsahu plochy pod izotermou medzi počiatočným a konečným objemom.
• Pri izotermickom deji ideálneho plynu je zmena jeho vnútornej energie nulová: ΔU = 0.
• Prvý termodynamický zákon má pri tomto deji tvar Q = W.
• Na udržanie konštantnej teploty musí medzi plynom a okolím prebiehať dostatočná výmena tepla.