Číselné množiny – prirodzené, celé, racionálne, iracionálne a reálne čísla
Číselné množiny – prirodzené, celé, racionálne, iracionálne a reálne čísla
Číselné množiny slúžia na rozdelenie čísel podľa ich vlastností. Medzi základné číselné množiny patria prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla, iracionálne čísla a reálne čísla.
Jednotlivé množiny spolu súvisia a niektoré sú súčasťou väčších množín. Platí:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
To znamená, že prirodzené čísla sú súčasťou celých čísel, celé čísla sú súčasťou racionálnych čísel a racionálne čísla sú súčasťou reálnych čísel.
Prehľad číselných množín
| Číselná množina | Značka | Charakteristika | Príklady |
|---|---|---|---|
| Prirodzené čísla | ℕ | Čísla používané najmä na počítanie | 1, 2, 3, 4, 5, ... |
| Celé čísla | ℤ | Prirodzené čísla, nula a záporné celé čísla | ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... |
| Racionálne čísla | ℚ | Čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok dvoch celých čísel | 1/2, −3/4, 5, 0,25, 0,333... |
| Iracionálne čísla | ℝ ℚ | Čísla, ktoré nemožno vyjadriť ako podiel dvoch celých čísel | π, √2, √3 |
| Reálne čísla | ℝ | Všetky racionálne a iracionálne čísla | −5, 0, 2/3, √2, π |
Reálne čísla – ℝ
Reálne čísla tvoria všetky čísla, ktoré môžeme znázorniť na číselnej osi. Zahŕňajú racionálne aj iracionálne čísla.
Platí:
ℝ = ℚ ∪ (ℝ ℚ)
Reálne čísla teda rozdeľujeme na:
- racionálne čísla ℚ,
- iracionálne čísla ℝ ℚ.
Každé reálne číslo je buď racionálne, alebo iracionálne. Nemôže patriť súčasne do oboch týchto množín.
Racionálne čísla – ℚ
Racionálne čísla sú čísla, ktoré môžeme zapísať v tvare zlomku:
a / b
kde a a b sú celé čísla a zároveň platí b ≠ 0.
Menovateľ zlomku nikdy nemôže byť nula, pretože delenie nulou nie je definované.
Príklady racionálnych čísel
- 1/2
- 3/4
- −7/5
- 8 = 8/1
- 0 = 0/1
- 0,5 = 1/2
- 0,25 = 1/4
- 0,333... = 1/3
Do racionálnych čísel teda patria celé čísla, zlomky, konečné desatinné čísla aj nekonečné periodické desatinné čísla.
Desatinný zápis racionálnych čísel
Racionálne číslo môže mať dva základné druhy desatinného zápisu:
- konečný desatinný zápis,
- nekonečný periodický desatinný zápis.
Konečné desatinné čísla
Pri konečnom desatinnom čísle sa počet číslic za desatinnou čiarkou po určitom mieste skončí.
Príklady:
- 0,5
- 1,25
- −3,75
- 12,125
Takéto čísla vieme vždy zapísať ako zlomok. Napríklad:
0,5 = 5/10 = 1/2
0,25 = 25/100 = 1/4
Periodické desatinné čísla
Pri periodickom desatinnom čísle sa určitá číslica alebo skupina číslic za desatinnou čiarkou stále opakuje. Opakujúca sa časť sa nazýva perióda.
Príklady:
- 0,333... = 1/3
- 0,666... = 2/3
- 0,121212... = 12/99 = 4/33
Aj všetky periodické desatinné čísla patria medzi racionálne čísla.
Celé čísla – ℤ
Celé čísla zahŕňajú kladné celé čísla, nulu a záporné celé čísla.
Zapisujeme ich:
ℤ = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Celé čísla nemajú desatinnú ani zlomkovú časť.
Kladné celé čísla
Sú to čísla väčšie ako nula:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Nula
Číslo 0 nie je ani kladné, ani záporné. Nachádza sa medzi kladnými a zápornými číslami.
Záporné celé čísla
Sú to celé čísla menšie ako nula:
−1, −2, −3, −4, −5, ...
Záporné čísla sa používajú napríklad pri vyjadrovaní teploty pod nulou, dlhu alebo polohy pod určitou referenčnou úrovňou.
Prirodzené čísla – ℕ
Prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame najmä pri počítaní predmetov:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
V niektorých matematických učebniciach sa medzi prirodzené čísla zahŕňa aj 0. Preto sa môžeme stretnúť aj so zápisom:
ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Vždy je preto vhodné sledovať, akú dohodu používa konkrétna učebnica alebo zadanie.
Vzťah prirodzených, celých a racionálnych čísel
Každé prirodzené číslo je zároveň celé číslo a každé celé číslo je zároveň racionálne číslo.
Napríklad číslo 5 patrí do všetkých týchto množín:
- 5 ∈ ℕ
- 5 ∈ ℤ
- 5 ∈ ℚ
- 5 ∈ ℝ
Číslo 5 je racionálne preto, že ho môžeme zapísať ako zlomok:
5 = 5/1
Preto platí:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Iracionálne čísla
Iracionálne čísla sú reálne čísla, ktoré nemožno zapísať ako zlomok dvoch celých čísel.
Ich desatinný zápis je:
- nekonečný,
- neperiodický – číslice sa neopakujú v pravidelnej perióde.
Príklady iracionálnych čísel
- π = 3,14159265...
- √2 = 1,41421356...
- √3 = 1,73205080...
- e = 2,71828182...
Iracionálne čísla môžeme označiť ako ℝ ℚ, teda reálne čísla, ktoré nepatria medzi racionálne čísla. Niekedy sa v školských materiáloch používa aj označenie ℚ′.
Je každá odmocnina iracionálne číslo?
Nie. Nie každá odmocnina je iracionálna. Záleží na čísle pod odmocninou.
- √4 = 2 → racionálne číslo,
- √9 = 3 → racionálne číslo,
- √16 = 4 → racionálne číslo,
- √2 → iracionálne číslo,
- √3 → iracionálne číslo,
- √5 → iracionálne číslo.
Ak odmocňujeme druhú mocninu celého čísla, výsledkom je celé, a teda aj racionálne číslo.
Racionálne alebo iracionálne číslo?
| Číslo | Typ čísla | Vysvetlenie |
|---|---|---|
| 5 | racionálne | 5 = 5/1 |
| −7 | racionálne | −7 = −7/1 |
| 1/3 | racionálne | je zapísané ako zlomok |
| 0,5 | racionálne | 0,5 = 1/2 |
| 0,333... | racionálne | 0,333... = 1/3 |
| √4 | racionálne | √4 = 2 |
| √2 | iracionálne | má nekonečný neperiodický desatinný rozvoj |
| π | iracionálne | nemožno ho zapísať ako podiel dvoch celých čísel |
Číselné množiny a číselná os
Všetky reálne čísla môžeme znázorniť na číselnej osi. Každému bodu na číselnej osi zodpovedá práve jedno reálne číslo a každému reálnemu číslu zodpovedá práve jeden bod.
Čísla napravo od nuly sú kladné a čísla naľavo od nuly sú záporné.
Čím viac sa číslo nachádza na číselnej osi napravo, tým je väčšie.
Napríklad:
−5 < −2 < 0 < 1,5 < 4
Ako zistiť, do ktorej číselnej množiny číslo patrí?
Pri určovaní číselnej množiny môžeme postupovať od najmenšej množiny k väčšej.
Príklad: číslo 7
Číslo 7 je:
- prirodzené,
- celé,
- racionálne,
- reálne.
Najmenšia základná množina, do ktorej patrí, je teda ℕ.
Príklad: číslo −4
Číslo −4 nie je prirodzené, ale je:
- celé,
- racionálne,
- reálne.
Najmenšia základná množina je ℤ.
Príklad: číslo 3/5
Číslo 3/5 nie je celé, ale možno ho vyjadriť ako zlomok dvoch celých čísel. Preto:
3/5 ∈ ℚ
Príklad: číslo √2
Číslo √2 nemožno vyjadriť ako zlomok dvoch celých čísel. Preto ide o iracionálne číslo:
√2 ∈ ℝ ℚ
Základné matematické symboly pri číselných množinách
| Symbol | Význam | Príklad |
|---|---|---|
| ∈ | patrí do množiny | 5 ∈ ℕ |
| ∉ | nepatrí do množiny | −2 ∉ ℕ |
| ⊂ | je podmnožinou | ℕ ⊂ ℤ |
| ∪ | zjednotenie množín | ℚ ∪ (ℝ ℚ) = ℝ |
| rozdiel množín | ℝ ℚ |
Príklady zaradenia čísel do množín
| Číslo | ℕ | ℤ | ℚ | ℝ |
|---|---|---|---|---|
| 8 | áno | áno | áno | áno |
| −3 | nie | áno | áno | áno |
| 0,5 | nie | nie | áno | áno |
| 2/3 | nie | nie | áno | áno |
| √2 | nie | nie | nie | áno |
| π | nie | nie | nie | áno |
Zapamätaj si
- ℕ označuje množinu prirodzených čísel.
- ℤ označuje množinu celých čísel.
- ℚ označuje množinu racionálnych čísel.
- ℝ označuje množinu reálnych čísel.
- Iracionálne čísla môžeme označiť ako ℝ ℚ.
- Platí vzťah ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- Racionálne číslo možno zapísať ako zlomok a/b, pričom b ≠ 0.
- Konečné a nekonečné periodické desatinné čísla sú racionálne.
- Iracionálne čísla majú nekonečný neperiodický desatinný rozvoj.
- Medzi známe iracionálne čísla patria π, √2 a √3.
- Všetky racionálne aj iracionálne čísla spolu tvoria množinu reálnych čísel.