Postupnosti patria medzi základné pojmy matematiky. Postupnosť môžeme chápať ako funkciu, ktorej argumentmi sú prirodzené čísla. Jednotlivým prirodzeným číslam priraďuje členy postupnosti, pričom každé prirodzené číslo určuje poradie príslušného člena.
Postupnosť je funkcia, ktorej definičný obor je tvorený prirodzenými číslami alebo ich časťou.
Podľa definičného oboru rozlišujeme:
Čísla, ktoré sú v postupnosti priradené jednotlivým prirodzeným číslam, nazývame členy postupnosti.
Každé prirodzené číslo zároveň určuje poradie člena v postupnosti.
Členy postupnosti najčastejšie označujeme:
a1, a2, a3, ..., an, ...
kde:
Index pri člene postupnosti teda udáva jeho poradie.
Majme postupnosť:
2, 4, 6, 8, 10, ...
Potom platí:
Každému prirodzenému číslu je teda priradený presne jeden člen postupnosti.
Postupnosť môžeme určiť viacerými spôsobmi. Medzi základné patria:
Najjednoduchším spôsobom je vypísať niekoľko po sebe nasledujúcich členov postupnosti.
Napríklad:
1, 3, 5, 7, 9, ...
Z uvedených členov môžeme často rozpoznať pravidlo, podľa ktorého postupnosť vzniká. V tomto prípade sa každý nasledujúci člen zväčší o číslo 2.
Tento spôsob je vhodný najmä vtedy, keď chceme rýchlo ukázať prvých niekoľko členov postupnosti.
Postupnosť možno určiť aj vzorcom pre n-tý člen. Tento vzorec nám umožňuje vypočítať ľubovoľný člen postupnosti priamo podľa jeho poradia.
Nekonečnú postupnosť môžeme označiť napríklad:
{an}n=1∞
Ak je napríklad postupnosť daná vzorcom:
an = 2n,
jej prvé členy získame dosadzovaním prirodzených čísel za n:
Dostaneme teda postupnosť:
2, 4, 6, 8, ...
Ak poznáme vzorec pre an, môžeme vypočítať ľubovoľný člen bez toho, aby sme museli poznávať všetky predchádzajúce členy.
Napríklad pri:
an = 2n
môžeme priamo vypočítať:
a100 = 2 · 100 = 200
Postupnosť môže byť určená aj rekurentne. Rekurentný vzorec vyjadruje vzťah medzi dvomi alebo viacerými po sebe idúcimi členmi postupnosti.
Napríklad:
an+1 = an + 2
Tento vzorec hovorí, že každý nasledujúci člen dostaneme tak, že k predchádzajúcemu členu pripočítame číslo 2.
Ak poznáme napríklad:
a1 = 1
a platí:
an+1 = an + 2,
potom:
Vznikne postupnosť:
1, 3, 5, 7, 9, ...
Aby sme mohli pomocou rekurentného vzorca postupnosť vytvárať, potrebujeme poznať aj začiatočný člen, prípadne viac začiatočných členov.
Samotný vzťah:
an+1 = an + 2
nám totiž určuje iba spôsob prechodu od jedného člena k nasledujúcemu.
Postupnosť môžeme znázorniť aj graficky v sústave súradníc.
Jednotlivým členom postupnosti prislúchajú body:
[n, an]
Na vodorovnú os zaznamenávame poradové číslo člena n a na zvislú os jeho hodnotu an.
Napríklad pre postupnosť:
2, 4, 6, 8, ...
zakreslíme body:
Grafom postupnosti je množina navzájom izolovaných bodov.
Body grafu postupnosti nespájame súvislou čiarou, pretože definičný obor postupnosti tvoria jednotlivé prirodzené čísla, nie celý interval reálnych čísel.
Medzi dôležité vlastnosti postupností patria najmä:
Monotónnosť vyjadruje, ako sa menia hodnoty členov postupnosti s rastúcim poradím.
Postupnosť môže byť napríklad:
Monotónnosť môžeme skúmať pomocou rozdielu dvoch po sebe idúcich členov:
an+1 − an
Ak pre členy postupnosti platí:
an+1 − an > 0,
potom:
an+1 > an
a postupnosť je rastúca.
To znamená, že každý nasledujúci člen je väčší ako predchádzajúci.
Majme postupnosť:
2, 4, 6, 8, ...
Platí:
an+1 − an = 2 > 0
Preto je táto postupnosť rastúca.
Ak platí:
an+1 − an < 0,
potom:
an+1 < an
a postupnosť je klesajúca.
Každý nasledujúci člen je teda menší ako predchádzajúci.
Majme postupnosť:
10, 8, 6, 4, 2, ...
Rozdiel dvoch po sebe idúcich členov je:
an+1 − an = −2 < 0
Postupnosť je preto klesajúca.
Ak poznáme vzorec pre n-tý člen postupnosti, môžeme postupovať nasledovne:
| Rozdiel | Vlastnosť postupnosti |
|---|---|
| an+1 − an > 0 | postupnosť je rastúca |
| an+1 − an < 0 | postupnosť je klesajúca |
Ďalšou dôležitou vlastnosťou je ohraničenosť postupnosti.
Pri základnom skúmaní postupnosti si môžeme vypočítať niekoľko jej členov a sledovať, aké hodnoty nadobúdajú. Získame tak predstavu o tom, či členy postupnosti zostávajú v určitých hraniciach.
Postupnosť je ohraničená zhora, ak existuje číslo, ktoré nie je menšie ako žiadny člen postupnosti.
Inými slovami, existuje číslo H také, že:
an ≤ H
pre všetky členy postupnosti.
Postupnosť je ohraničená zdola, ak existuje číslo D také, že:
an ≥ D
pre všetky členy postupnosti.
Ak je postupnosť ohraničená zároveň zhora aj zdola, hovoríme, že je ohraničená.
Existujú teda čísla D a H také, že:
D ≤ an ≤ H
pre všetky členy postupnosti.
| Spôsob | Charakteristika |
|---|---|
| Vymenovaním členov | zapíšeme niekoľko po sebe nasledujúcich členov |
| Vzorcom pre n-tý člen | ľubovoľný člen vypočítame priamo podľa jeho poradia |
| Rekurentne | nasledujúci člen vypočítame pomocou predchádzajúceho člena alebo členov |
| Graficky | postupnosť zobrazíme pomocou izolovaných bodov [n, an] |
| Spôsob zadania | Príklad | Význam |
|---|---|---|
| Vzorec pre n-tý člen | an = 2n | člen vypočítame priamo podľa jeho poradia |
| Rekurentný vzorec | an+1 = an + 2 | nasledujúci člen vypočítame z predchádzajúceho |
Pri vzorci pre n-tý člen teda môžeme okamžite vypočítať napríklad stý člen. Pri rekurentnom zadaní spravidla postupujeme od známeho začiatočného člena k ďalším členom.