Postupnosti – definícia, určenie, graf, monotónnosť a ohraničenosť

Postupnosti – definícia, určenie, graf, monotónnosť a ohraničenosť

Postupnosti patria medzi základné pojmy matematiky. Postupnosť môžeme chápať ako funkciu, ktorej argumentmi sú prirodzené čísla. Jednotlivým prirodzeným číslam priraďuje členy postupnosti, pričom každé prirodzené číslo určuje poradie príslušného člena.

Čo je postupnosť?

Postupnosť je funkcia, ktorej definičný obor je tvorený prirodzenými číslami alebo ich časťou.

Podľa definičného oboru rozlišujeme:

• konečnú postupnosť – jej definičný obor je konečná podmnožina prirodzených čísel, teda D(f) ⊂ N,
• nekonečnú postupnosť – jej definičný obor tvoria prirodzené čísla, teda D(f) = N.

Čísla, ktoré sú v postupnosti priradené jednotlivým prirodzeným číslam, nazývame členy postupnosti.

Každé prirodzené číslo zároveň určuje poradie člena v postupnosti.

Označenie členov postupnosti

Členy postupnosti najčastejšie označujeme:

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...

kde:

• a₁ je prvý člen postupnosti,
• a₂ je druhý člen postupnosti,
• a₃ je tretí člen postupnosti,
• a_n je n-tý člen postupnosti.

Index pri člene postupnosti teda udáva jeho poradie.

Príklad postupnosti

Majme postupnosť:

2, 4, 6, 8, 10, ...

Potom platí:

• a₁ = 2,
• a₂ = 4,
• a₃ = 6,
• a₄ = 8.

Každému prirodzenému číslu je teda priradený presne jeden člen postupnosti.

Spôsoby určenia postupnosti

Postupnosť môžeme určiť viacerými spôsobmi. Medzi základné patria:

1. vymenovaním členov,
2. vzorcom pre n-tý člen,
3. rekurentne,
4. graficky.

1. Určenie postupnosti vymenovaním členov

Najjednoduchším spôsobom je vypísať niekoľko po sebe nasledujúcich členov postupnosti.

Napríklad:

1, 3, 5, 7, 9, ...

Z uvedených členov môžeme často rozpoznať pravidlo, podľa ktorého postupnosť vzniká. V tomto prípade sa každý nasledujúci člen zväčší o číslo 2.

Tento spôsob je vhodný najmä vtedy, keď chceme rýchlo ukázať prvých niekoľko členov postupnosti.

2. Určenie postupnosti vzorcom pre n-tý člen

Postupnosť možno určiť aj vzorcom pre n-tý člen. Tento vzorec nám umožňuje vypočítať ľubovoľný člen postupnosti priamo podľa jeho poradia.

Nekonečnú postupnosť môžeme označiť napríklad:

{a_n}_n=1^∞

Ak je napríklad postupnosť daná vzorcom:

a_n = 2n,

jej prvé členy získame dosadzovaním prirodzených čísel za n:

• pre n = 1: a₁ = 2 · 1 = 2,
• pre n = 2: a₂ = 2 · 2 = 4,
• pre n = 3: a₃ = 2 · 3 = 6,
• pre n = 4: a₄ = 2 · 4 = 8.

Dostaneme teda postupnosť:

2, 4, 6, 8, ...

Výhoda vzorca pre n-tý člen

Ak poznáme vzorec pre a_n, môžeme vypočítať ľubovoľný člen bez toho, aby sme museli poznávať všetky predchádzajúce členy.

Napríklad pri:

a_n = 2n

môžeme priamo vypočítať:

a₁₀₀ = 2 · 100 = 200

3. Rekurentné určenie postupnosti

Postupnosť môže byť určená aj rekurentne. Rekurentný vzorec vyjadruje vzťah medzi dvomi alebo viacerými po sebe idúcimi členmi postupnosti.

Napríklad:

a_n+1 = a_n + 2

Tento vzorec hovorí, že každý nasledujúci člen dostaneme tak, že k predchádzajúcemu členu pripočítame číslo 2.

Ak poznáme napríklad:

a₁ = 1

a platí:

a_n+1 = a_n + 2,

potom:

• a₂ = 1 + 2 = 3,
• a₃ = 3 + 2 = 5,
• a₄ = 5 + 2 = 7,
• a₅ = 7 + 2 = 9.

Vznikne postupnosť:

1, 3, 5, 7, 9, ...

Dôležité pri rekurentnom zadaní

Aby sme mohli pomocou rekurentného vzorca postupnosť vytvárať, potrebujeme poznať aj začiatočný člen, prípadne viac začiatočných členov.

Samotný vzťah:

a_n+1 = a_n + 2

nám totiž určuje iba spôsob prechodu od jedného člena k nasledujúcemu.

4. Grafické určenie postupnosti

Postupnosť môžeme znázorniť aj graficky v sústave súradníc.

Jednotlivým členom postupnosti prislúchajú body:

[n, a_n]

Na vodorovnú os zaznamenávame poradové číslo člena n a na zvislú os jeho hodnotu a_n.

Napríklad pre postupnosť:

2, 4, 6, 8, ...

zakreslíme body:

• [1, 2],
• [2, 4],
• [3, 6],
• [4, 8].

Grafom postupnosti je množina navzájom izolovaných bodov.

Body grafu postupnosti nespájame súvislou čiarou, pretože definičný obor postupnosti tvoria jednotlivé prirodzené čísla, nie celý interval reálnych čísel.

Základné vlastnosti postupností

Medzi dôležité vlastnosti postupností patria najmä:

• monotónnosť,
• ohraničenosť.

Monotónnosť postupnosti

Monotónnosť vyjadruje, ako sa menia hodnoty členov postupnosti s rastúcim poradím.

Postupnosť môže byť napríklad:

• rastúca,
• klesajúca.

Monotónnosť môžeme skúmať pomocou rozdielu dvoch po sebe idúcich členov:

a_n+1 − a_n

Rastúca postupnosť

Ak pre členy postupnosti platí:

a_n+1 − a_n > 0,

potom:

a_n+1 > a_n

a postupnosť je rastúca.

To znamená, že každý nasledujúci člen je väčší ako predchádzajúci.

Príklad rastúcej postupnosti

Majme postupnosť:

2, 4, 6, 8, ...

Platí:

a_n+1 − a_n = 2 > 0

Preto je táto postupnosť rastúca.

Klesajúca postupnosť

Ak platí:

a_n+1 − a_n < 0,

potom:

a_n+1 < a_n

a postupnosť je klesajúca.

Každý nasledujúci člen je teda menší ako predchádzajúci.

Príklad klesajúcej postupnosti

Majme postupnosť:

10, 8, 6, 4, 2, ...

Rozdiel dvoch po sebe idúcich členov je:

a_n+1 − a_n = −2 < 0

Postupnosť je preto klesajúca.

Postup pri zisťovaní monotónnosti

Ak poznáme vzorec pre n-tý člen postupnosti, môžeme postupovať nasledovne:

1. napíšeme výraz pre a_n,
2. určíme výraz pre a_n+1,
3. vypočítame rozdiel a_n+1 − a_n,
4. určíme znamienko výsledného výrazu,
5. podľa znamienka rozhodneme, či je postupnosť rastúca alebo klesajúca.

Rozdiel	Vlastnosť postupnosti
an+1 − an > 0	postupnosť je rastúca
an+1 − an < 0	postupnosť je klesajúca

Ohraničenosť postupnosti

Ďalšou dôležitou vlastnosťou je ohraničenosť postupnosti.

Pri základnom skúmaní postupnosti si môžeme vypočítať niekoľko jej členov a sledovať, aké hodnoty nadobúdajú. Získame tak predstavu o tom, či členy postupnosti zostávajú v určitých hraniciach.

Postupnosť ohraničená zhora

Postupnosť je ohraničená zhora, ak existuje číslo, ktoré nie je menšie ako žiadny člen postupnosti.

Inými slovami, existuje číslo H také, že:

a_n ≤ H

pre všetky členy postupnosti.

Postupnosť ohraničená zdola

Postupnosť je ohraničená zdola, ak existuje číslo D také, že:

a_n ≥ D

pre všetky členy postupnosti.

Ohraničená postupnosť

Ak je postupnosť ohraničená zároveň zhora aj zdola, hovoríme, že je ohraničená.

Existujú teda čísla D a H také, že:

D ≤ a_n ≤ H

pre všetky členy postupnosti.

Prehľad spôsobov určenia postupnosti

Spôsob	Charakteristika
Vymenovaním členov	zapíšeme niekoľko po sebe nasledujúcich členov
Vzorcom pre n-tý člen	ľubovoľný člen vypočítame priamo podľa jeho poradia
Rekurentne	nasledujúci člen vypočítame pomocou predchádzajúceho člena alebo členov
Graficky	postupnosť zobrazíme pomocou izolovaných bodov [n, an]

Rozdiel medzi explicitným a rekurentným zadaním

Spôsob zadania	Príklad	Význam
Vzorec pre n-tý člen	an = 2n	člen vypočítame priamo podľa jeho poradia
Rekurentný vzorec	an+1 = an + 2	nasledujúci člen vypočítame z predchádzajúceho

Pri vzorci pre n-tý člen teda môžeme okamžite vypočítať napríklad stý člen. Pri rekurentnom zadaní spravidla postupujeme od známeho začiatočného člena k ďalším členom.

Ako postupovať pri úlohách s postupnosťami

1. Zistíme, akým spôsobom je postupnosť zadaná.
2. Určíme alebo vypočítame prvých niekoľko členov.
3. Ak poznáme vzorec pre n-tý člen, dosadzujeme za n príslušné prirodzené čísla.
4. Pri rekurentnom zadaní začíname od zadaného počiatočného člena.
5. Ak skúmame monotónnosť, vypočítame a_n+1 − a_n.
6. Podľa znamienka rozdielu určíme, či je postupnosť rastúca alebo klesajúca.
7. Pri skúmaní ohraničenosti sledujeme, či všetky členy zostávajú pod určitou hornou alebo nad určitou dolnou hranicou.
8. Pri grafickom znázornení zakresľujeme body [n, a_n].

Najdôležitejšie poznatky o postupnostiach

• Postupnosť je funkcia, ktorej definičný obor tvoria prirodzené čísla alebo ich časť.
• Hodnoty postupnosti nazývame členy postupnosti.
• Index pri člene určuje jeho poradie.
• Postupnosť môže byť konečná alebo nekonečná.
• Možno ju určiť vymenovaním členov, vzorcom pre n-tý člen, rekurentne alebo graficky.
• Graf postupnosti tvorí množina izolovaných bodov.
• Medzi základné vlastnosti postupností patria monotónnosť a ohraničenosť.
• Ak a_n+1 − a_n > 0, postupnosť je rastúca.
• Ak a_n+1 − a_n < 0, postupnosť je klesajúca.
• Pri skúmaní ohraničenosti zisťujeme, či hodnoty členov neprekračujú určitú hornú alebo dolnú hranicu.