Množina a množiny

Množiny

MNOŽINA:

• súbor (zoskupenie) ľubovoľných rôznych objektov (prvkov množiny), ktoré majú spoločnú vlastnosť, podľa ktorej môžeme rozhodnúť, či do množiny patria alebo nepatria
• označenie – množiny: A, B, ...; prvky množiny: a, b, ...
• zápis ® a Î A čítame „a je prvkom množiny A“

URČOVANIE MNOŽÍN:

1. Vymenovaním všetkých jej prvkov (pri konečných množinách)

• konečná množina – je to množina, ktorá má konečný počet prvkov
• A = {1,2,3,4}

1. Udaním charakteristickej vlastnosti prvku množiny (pri konečných aj nekonečných množinách)

• nekonečná množina – je to množina, ktorá má nekonečný počet prvkov
• množina všetkých reálnych čísel; napr. B = x ÎN; x 6

Prázdna množina – množina, ktorá neobsahuje ani jeden prvok; označujeme ju: Ø alebo {}

Disjunktné množiny – množiny, ktoré nemajú žiaden spoločný prvok

OPERÁCIE S MNOŽINAMI:

Rovnosť množín

• množiny A, B sa rovnajú, ak sa skladajú z tých istých prvkov
• A=B Û ("x; xÎA Û xÎB )

Inklúzia množínA⊆B

• A je podmnožinou (časťou) množiny B (alebo B je nadmnožinou A) práve vtedy, keď každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B
• A⊆B Û ("x; xÎA ⇒ xÎB)
• ak AÌB, hovoríme, že A je vlastnou podmnožinou (pravou časťou) množiny B
• medzi vlastné podmnožiny patria: ØÌA (prázdna množina – každá množina je nadmnožinou prázdnej množiny) a AÌA
• ostrá inklúzia – množina A je vlastnou podmnožinou množiny B, ak A je podmnožinou B a pritom sa množina A nerovná množine B
• AÌB Û (A⊆B Ù A≠B)

Zjednotenie množínAÈB

• zjednotením množín A, B je množina, ktorej každý prvok patrí do jednej z množín A, B
• x Î AÈB Û {xÎA Ú xÎB}

Prienik množín AÇB

• prienikom množín A, B je množina, ktorej každý prvok je súčasne prvkom oboch množín A a B
• x Î AÇB Û {xÎA Ù xÎB}

Rozdiel množín A - B

• rozdielom množín A, B (v uvedenom poradí) nazývame množinu, ktorej každý prvok patrí do množiny A a zároveň nepatrí do množiny B
• x Î A-B Û xÎA Ù xÏB

Doplnok množínA’_U

• doplnkom (komplementom) množiny A vzhľadom na množinu U je množina všetkých tých prvkov množiny U, ktoré nepatria do množiny A
• A’_U = U – A, x Î A’_U Û xÎU Ù xÏA

GRAFICKÉ VYJADRENIE MNOŽÍN:

• množiny a operácie s nimi znázorňujeme pomocou Vennových diagramov
• základná množina U sa znázorňuje spravidla obdĺžnikom a jej podmnožiny A, B, ... ako kruhy alebo iné zvyčajne oválne obrazce vnútri obdĺžnika
• k znázorneniu množín reálnych čísel sa zvyčajne používa číselná os
• 2 množiny 3 množiny

ČÍSELNÉ MNOŽINY/OBORY:

N – prirodzené čísla N={1, 2, 3, ..., ¥}

Z – celé čísla Z={-¥, ..., -1, 0, 1, 2, 3, ..., ¥}, rozlišujeme: Z⁺, Z⁺₀, Z^-, Z^-₀

Q – racionálne čísla, t.j. všetky čísla, ktoré sa dajú zapísať v tvare zlomku zloženého z dvoch celých čísel , kde pÎZ a qÎN

Ak sú p a q nesúdeliteľné, zlomok je v základnom tvare. Racionálne číslo môžeme zapísať ako desatinné, alebo s periódou – skupinou opakujúcich sa číslic v desatinnom čísle

I – iracionálne čísla, t.j. čísla, ktoré sa nedajú zapísať v tvare zlomku (majú nekonečný desatinný rozvoj) – hodnoty odmocnín, goniometrických funkcií, logaritmických funkcií

R – reálne čísla R=Q+I

C – komplexné čísla, t.j. čísla, ktoré môžu mať reálnu aj imaginárnu zložku C=R+{i}, napr. 4+3i

NÌÌQÌRÌC

NÌÌQÌRÌC

ABSOLÚTNA HODNOTA REÁLNEHO ČÍSLA:

• algebraický význam – absolútna hodnota reálneho čísla je nezáporné reálne číslo |a|, pre ktoré platí:

ak je a 0, tak |a| = a

ak je a < 0, tak |a| = - a

• pre každé reálne číslo platí = |a|
• geometrický význam – číslo |a| je vzdialenosť obrazu čísla a od obrazu čísla 0 na číselnej osi; je to vždy kladné číslo
• |a-b| je vzdialenosť a od b na číselnej osi
• |a-b| = |b-a|

ČÍSELNÁ OS:

• súradnicová sústava na priamke, so zvoleným počiatkom osi, smerom a vzdialenosťou medzi 0 a 1
• |x-a| je vzdialenosť obrazov čísel x a a na číselnej osi

INTERVALY:

• množiny reálnych čísel