Teória čísel – prvočísla, deliteľnosť, NSD, NSN a kritériá deliteľnosti

Teória čísel – prvočísla, deliteľnosť, NSD, NSN a kritériá deliteľnosti

Vypracovanú maturitnú tému si môžeš pozrieť v dokumente PDF kliknutím na nasledujúci odkaz: Teória čísel. Doporučujeme pozrieť aj iné vypracované témy na https://zmaturuj.zones.sk/vypracovane-maturitne-temy/

Teória čísel

Teória čísel je časť matematiky, ktorá sa zaoberá vlastnosťami prirodzených a celých čísel. Medzi základné témy patria prvočísla a zložené čísla, prvočíselný rozklad, deliteľnosť, najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok, počet deliteľov a kritériá deliteľnosti.

Prvočíslo

Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré má práve dvoch kladných deliteľov:

• číslo 1,
• seba samé.

Medzi prvočísla patria napríklad:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Číslo 2 je zároveň jediné párne prvočíslo.

Z definície vyplýva, že číslo 1 nie je prvočíslo, pretože má iba jedného kladného deliteľa – číslo 1.

Poznámka: V pôvodnom materiáli sa pri definícii používajú slová „celočíselní delitelia“. Pri definícii prvočísla sa však myslia kladní delitelia.

Zložené číslo

Zložené číslo je prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch kladných deliteľov.

Medzi zložené čísla patria napríklad:

4, 6, 8, 9, 10, 12, ...

Napríklad číslo 12 má delitele:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Preto je 12 zložené číslo.

Prvočíselný rozklad

Prvočíselný rozklad znamená zapísanie prirodzeného čísla ako súčinu prvočísel.

Napríklad:

24 = 3 · 8 = 2³ · 3

Všeobecne môžeme číslo n zapísať v tvare:

n = p₁^α₁ · p₂^α₂ · ... · p_k^α_k

kde:

• p₁, p₂, ..., p_k sú prvočísla,
• α₁, α₂, ..., α_k sú príslušné exponenty.

Prvočíselný rozklad je veľmi dôležitý, pretože pomocou neho môžeme určovať napríklad najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok alebo počet deliteľov čísla.

Základná veta aritmetiky

Základná veta aritmetiky hovorí, že každé zložené prirodzené číslo možno zapísať ako súčin prvočísel.

Napríklad:

60 = 2² · 3 · 5

72 = 2³ · 3²

Najväčší spoločný deliteľ – NSD

Najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel a a b je najväčšie prirodzené číslo, ktoré delí obe čísla bez zvyšku.

Označuje sa:

NSD(a, b) alebo v pôvodnom materiáli D(a, b).

Napríklad:

NSD(16, 24) = 8

Číslo 8 totiž delí číslo 16 aj číslo 24 a neexistuje väčšie prirodzené číslo, ktoré by delilo obe.

Určenie NSD vypísaním všetkých deliteľov

Najjednoduchší spôsob môžeme použiť pri menších číslach.

Delitele čísla 24:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Delitele čísla 16:

1, 2, 4, 8, 16

Spoločnými deliteľmi sú:

1, 2, 4, 8

Najväčší z nich je 8, preto:

NSD(16, 24) = 8

Určenie NSD pomocou prvočíselného rozkladu

Rozložíme obe čísla na prvočinitele:

24 = 2³ · 3¹

16 = 2⁴ · 3⁰

Pri určovaní NSD vyberáme pri každom prvočísle nižší exponent.

Pre číslo 2:

min(3, 4) = 3

Pre číslo 3:

min(1, 0) = 0

Preto:

NSD(16, 24) = 2³ · 3⁰ = 8

Pravidlo: V prvočíselnom rozklade NSD sa pri každom prvočísle použije nižší z exponentov.

Euklidov algoritmus

Najväčší spoločný deliteľ môžeme určiť aj pomocou Euklidovho algoritmu.

V pôvodnom materiáli je použitá verzia s postupným odčítavaním menšieho čísla od väčšieho.

Určme:

NSD(210, 63)

Postupujeme:

210 − 63 = 147

147 − 63 = 84

84 − 63 = 21

63 − 21 = 42

42 − 21 = 21

21 − 21 = 0

Keď dostaneme nulu, najväčším spoločným deliteľom je posledné nenulové číslo:

NSD(210, 63) = 21

Čo si zapamätať: Euklidov algoritmus postupne zmenšuje dvojicu čísel, pričom ich najväčší spoločný deliteľ zostáva rovnaký.

Najmenší spoločný násobok – NSN

Najmenší spoločný násobok dvoch prirodzených čísel je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami.

Označujeme ho:

NSN(a, b)

V pôvodnom materiáli sa používa označenie n(a, b).

Napríklad:

NSN(12, 8) = 24

Číslo 24 je totiž deliteľné číslom 12 aj číslom 8.

Určenie NSN pomocou prvočíselného rozkladu

Rozložíme čísla na prvočinitele:

12 = 2² · 3¹

8 = 2³ · 3⁰

Pri určovaní NSN používame pri každom prvočísle vyšší exponent.

Pre číslo 2:

max(2, 3) = 3

Pre číslo 3:

max(1, 0) = 1

Preto:

NSN(12, 8) = 2³ · 3¹ = 8 · 3 = 24

Pravidlo: Pri určovaní NSN pomocou prvočíselného rozkladu použijeme pri každom prvočísle najvyšší exponent, ktorý sa v rozkladoch nachádza.

Vzťah medzi NSD a NSN

Pre dve prirodzené čísla a a b platí dôležitý vzťah:

a · b = NSD(a, b) · NSN(a, b)

Napríklad pre čísla 12 a 8:

12 · 8 = 96

NSD(12, 8) = 4

NSN(12, 8) = 24

A skutočne:

4 · 24 = 96

Tento vzťah môžeme použiť aj na dopočítanie NSN, ak poznáme NSD:

NSN(a, b) = (a · b) / NSD(a, b)

Počet deliteľov prirodzeného čísla

Pomocou prvočíselného rozkladu môžeme jednoducho určiť aj počet všetkých kladných deliteľov čísla.

Majme napríklad:

72 = 2³ · 3²

Každý deliteľ čísla 72 musí mať tvar:

2^a · 3^b

Exponent a môže nadobúdať hodnoty:

0, 1, 2, 3

Máme teda 4 možnosti.

Exponent b môže nadobúdať hodnoty:

0, 1, 2

Máme teda 3 možnosti.

Počet všetkých kombinácií je:

4 · 3 = 12

Číslo 72 má teda 12 kladných deliteľov.

Sú to:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Všeobecný vzorec na počet deliteľov

Ak:

n = p₁^α₁ · p₂^α₂ · ... · p_k^α_k,

potom počet kladných deliteľov čísla n je:

(α₁ + 1)(α₂ + 1) · ... · (α_k + 1)

Ku každému exponentu teda pripočítame 1 a získané čísla vynásobíme.

Poznámka: V pôvodnom texte materiálu je pri všeobecnom vzorci uvedené „(α₁ + 1)(α₂ + 2)...“. Z uvedených príkladov aj zo spôsobu tvorby deliteľov však vyplýva, že pri každom exponente sa používa +1.

Príklad: Koľko deliteľov má číslo 610?

Najskôr číslo rozložíme na prvočinitele:

610 = 2 · 305 = 2 · 5 · 61

Teda:

610 = 2¹ · 5¹ · 61¹

Počet deliteľov:

(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 · 2 · 2 = 8

Číslo 610 má 8 kladných deliteľov.

Príklad: Koľko deliteľov má číslo 1825?

Rozložíme číslo:

1825 = 5 · 365 = 5 · 5 · 73 = 5² · 73

Počet deliteľov:

(2 + 1)(1 + 1) = 3 · 2 = 6

Číslo 1825 má 6 kladných deliteľov.

Súdeliteľné čísla

Dve prirodzené čísla a a b sú súdeliteľné, ak majú aspoň jedného spoločného deliteľa väčšieho ako 1.

Napríklad:

• 4 a 6 – spoločným deliteľom je 2,
• 9 a 12 – spoločným deliteľom je 3.

Pre súdeliteľné čísla teda platí:

NSD(a, b) > 1

Nesúdeliteľné čísla

Dve čísla sú nesúdeliteľné, ak je ich jediným spoločným kladným deliteľom číslo 1.

Napríklad:

• 3 a 7,
• 2 a 3.

Pre nesúdeliteľné čísla platí:

NSD(a, b) = 1

Kritériá deliteľnosti

Kritériá deliteľnosti umožňujú rýchlo rozhodnúť, či je číslo deliteľné určitým číslom bez toho, aby sme museli vykonať celé delenie.

Príklad na deliteľnosť číslom 11

Majme číslo:

1 242 579

Sčítame cifry na jednej skupine striedavých pozícií:

1 + 4 + 5 + 9 = 19

A cifry na druhej skupine pozícií:

2 + 2 + 7 = 11

Vypočítame rozdiel:

19 − 11 = 8

Číslo 8 nie je násobkom čísla 11, preto:

1 242 579 nie je deliteľné číslom 11.

Ako zistiť, či je číslo prvočíslo

Pre každé zložené prirodzené číslo M platí, že jeho najmenší deliteľ väčší ako 1 je prvočíslo a neprevyšuje √M.

Ak je teda M zložené číslo, musí mať aspoň jedného prvočíselného deliteľa v intervale:

(1, √M]

Táto vlastnosť výrazne zjednodušuje skúmanie, či je číslo prvočíslo.

Nemusíme skúšať všetky čísla menšie ako M. Stačí skúšať prvočísla, ktoré nie sú väčšie ako jeho druhá odmocnina.

Príklad: číslo 1933

V materiáli je uvedené:

1933 je prvočíslo.

Pri overovaní stačí skúmať prvočíselných deliteľov neprevyšujúcich:

√1933

Ak žiadne také prvočíslo číslo 1933 nedelí, číslo 1933 je prvočíslo.

Zápis deliteľnosti

Pre prirodzené čísla a, b platí, že a delí b, ak existuje prirodzené číslo c také, že:

b = c · a

Zapisujeme:

a | b

Teda:

a | b ⇔ existuje c ∈ N také, že b = c · a

Napríklad:

4 | 20

pretože existuje číslo 5, pre ktoré:

20 = 5 · 4

Deliteľnosť číslom 7

V materiáli je uvedené aj praktické kritérium deliteľnosti číslom 7.

Zapíšme číslo n v tvare:

n = 10k + z

kde:

• z je posledná cifra čísla,
• k je číslo, ktoré zostane po odstránení poslednej cifry.

Platí:

7 | n ⇔ 7 | (k + 5z)

Číslo je teda deliteľné siedmimi práve vtedy, keď je siedmimi deliteľné aj číslo, ktoré získame tak, že k zvyšnej časti čísla pripočítame päťnásobok poslednej cifry.

Príklad: Je číslo 875 deliteľné číslom 7?

Rozdelíme číslo:

875 = 10 · 87 + 5

Teda:

k = 87, z = 5

Vypočítame:

k + 5z = 87 + 5 · 5 = 87 + 25 = 112

Teraz rovnaký postup použijeme pre číslo 112:

112 = 10 · 11 + 2

Preto:

11 + 5 · 2 = 11 + 10 = 21

Číslo 21 je deliteľné siedmimi:

21 = 3 · 7

Preto je číslom 7 deliteľné aj pôvodné číslo:

7 | 875

Najdôležitejšie pravidlá na zapamätanie

• Prvočíslo má práve dva kladné delitele – 1 a seba samé.
• Zložené číslo má viac ako dva kladné delitele.
• Každé zložené číslo možno rozložiť na súčin prvočísel.
• Pri výpočte NSD pomocou prvočíselného rozkladu používame nižšie exponenty.
• Pri výpočte NSN používame vyššie exponenty.
• Platí vzťah a · b = NSD(a, b) · NSN(a, b).
• Ak n = p₁^α₁ · ... · p_k^α_k, počet jeho kladných deliteľov je (α₁ + 1) · ... · (α_k + 1).
• Dve čísla sú nesúdeliteľné, ak ich NSD je 1.
• Pri skúmaní, či je číslo M prvočíslo, stačí overovať prvočíselných deliteľov najviac do √M.
• Kritériá deliteľnosti umožňujú rýchlo rozhodnúť o deliteľnosti bez vykonania celého delenia.