Lineárne útvary v rovine E2 – Teória

Lineárne útvary v rovine E2 – Teória

Vypracovanú maturitnú tému si môžeš pozrieť v dokumente PDF kliknutím na nasledujúci odkaz: Lineárne útvary v rovine E2

Doporučujeme pozrieť aj iné vypracované témy na https://zmaturuj.zones.sk/vypracovane-maturitne-temy/

Lineárne útvary v rovine

Lineárne útvary v rovine patria medzi základné pojmy analytickej geometrie. V rovine nimi opisujeme najmä bod, priamku, polpriamku, úsečku a ich rôzne matematické vyjadrenia. Základom je vedieť, ako sa priamka zapisuje a čo jednotlivé tvary rovnice znamenajú.

Bod v rovine

Bod v rovine zapisujeme pomocou súradníc:

X(x1, x2)

To znamená, že bod X má svoju presnú polohu určenú dvoma číslami:

• x1 je prvá súradnica
• x2 je druhá súradnica

Tieto súradnice určujú, kde sa bod nachádza v súradnicovej rovine.

Priamka v rovine

Priamka môže byť určená:

• dvoma rôznymi bodmi
• alebo jedným bodom a smerovým vektorom

To znamená, že na určenie priamky nestačí iba jeden bod, pretože cez jeden bod môže prechádzať nekonečne veľa priamok.

Vyjadrenie priamky v rovine

Priamku vieme zapísať viacerými spôsobmi. Najčastejšie sa používajú tieto tvary:

Všeobecný tvar priamky

ax + by + c = 0

kde:

• a, b, c ∈ R
• zároveň platí, že (a, b) ≠ (0, 0)

To znamená, že koeficienty pri x a y nemôžu byť súčasne nulové, inak by rovnica nevyjadrovala priamku.

Normálový vektor priamky

K priamke vo všeobecnom tvare patrí normálový vektor:

n = (a, b)

Tento vektor je na priamku kolmý. Platí aj vzťah:

n · s = 0

To znamená, že normálový vektor n je kolmý na smerový vektor s.

Smernicový tvar priamky

y = kx + q

kde:

• k je smernica priamky
• q je úsek, ktorý priamka vytína na osi y

Význam smernice k

Smernica k určuje, ako je priamka naklonená. Platí:

k = tg α

kde α je orientovaný uhol, ktorý zviera priamka s kladným smerom osi x.

Z toho vyplýva:

• ak je k > 0, priamka stúpa
• ak je k < 0, priamka klesá
• ak je k = 0, priamka je vodorovná

Úsekový tvar priamky

Úsekový tvar má podobu:

x/p + y/q = 1

kde:

• p, q ∈ R – {0}
• p je úsek, ktorý priamka vytína na osi x
• q je úsek, ktorý priamka vytína na osi y

Tento tvar používame vtedy, keď:

• priamka neprechádza začiatkom súradnicovej sústavy
• a zároveň je rôznobežná so súradnicovými osami

Parametrický tvar priamky

Priamka v parametrickom tvare sa zapisuje takto:

x = a1 + tu1
y = a2 + tu2

kde:

• t ∈ R
• (a1, a2) je bod, cez ktorý priamka prechádza
• u = (u1, u2) je smerový vektor priamky
• platí u ≠ (0, 0)

Tento tvar môžeme zapísať aj stručnejšie:

X = A + s·t, t ∈ R

Parametrický tvar je veľmi užitočný, pretože priamo ukazuje:

• jeden konkrétny bod priamky
• smer, ktorým priamka pokračuje

Polpriamka, úsečka a opačná polpriamka

Pri parametrickom vyjadrení závisí typ útvaru od hodnôt parametra t:

Polpriamka AB

t ∈ R0+

To znamená, že parameter nadobúda iba nezáporné hodnoty, a preto útvar začína v bode A a pokračuje smerom k bodu Ba ďalej.

Úsečka AB

t ∈ <0,1>

V tomto prípade parameter nadobúda hodnoty iba od 0 do 1, preto dostaneme iba časť medzi bodmi A a B, teda úsečku.

Opačná polpriamka

t ∈ R−

Tu parameter nadobúda záporné hodnoty, preto útvar smeruje opačným smerom.

Dôležité pojmy na zapamätanie

Normálový vektor

Je kolmý na priamku.

Smerový vektor

Určuje smer priamky.

Smernica priamky

Vyjadruje sklon priamky vzhľadom na os x.

Úsek na osi x

Označuje sa p a udáva, kde priamka pretína os x.

Úsek na osi y

Označuje sa q a udáva, kde priamka pretína os y.

Lineárne útvary v rovine E2

Priamku v rovine môžeme zapísať viacerými spôsobmi:

• všeobecným tvaromax + by + c = 0
• smernicovým tvaromy = kx + q
• úsekovým tvaromx/p + y/q = 1
• parametrickým tvarom pomocou bodu a smerového vektora

Každý z týchto tvarov má svoje využitie. Pri riešení úloh je dôležité vedieť:

• čo znamenajú jednotlivé koeficienty
• aký je rozdiel medzi normálovým a smerovým vektorom
• kedy ide o priamku, polpriamku alebo úsečku.

Na učenie v skratke

• Bod zapisujeme pomocou dvoch súradníc.
• Priamka je určená dvoma bodmi alebo bodom a smerovým vektorom.
• Všeobecný tvar:ax + by + c = 0
• Smernicový tvar:y = kx + q
• Úsekový tvar:x/p + y/q = 1
• Parametrický tvar:x = a1 + tu1, y = a2 + tu2
• Normálový vektor je kolmý na priamku.
• Smerový vektor určuje smer priamky.
• Podľa hodnôt parametra t môžeme vyjadriť priamku, polpriamku aj úsečku.