Funkcia kosínus – maturitná téma

Funkcia kosínus – maturitná téma

Definícia goniometrických funkcií

V pravouhlom trojuholníku sú goniometrické funkcie definované ako pomery strán:

• Kosínus: cos(α) = priľahlá odvesna / prepona
• Sínus: sin(α) = protiľahlá odvesna / prepona
• Tangens: tg(α) = protiľahlá odvesna / priľahlá odvesna
• Kotangens: cotg(α) = priľahlá odvesna / protiľahlá odvesna

Platí základná goniometrická veta:
sin²(α) + cos²(α) = 1

Funkcia kosínus na jednotkovej kružnici

• Každému reálnemu číslu x vieme priradiť bod na jednotkovej kružnici, kde:
  • x-ová súradnica bodu je cos(x)
  • y-ová súradnica bodu je sin(x)

Vlastnosti funkcie kosínus

• Definičný obor: D(f) = R (všetky reálne čísla)
• Obor hodnôt: H(f) = ⟨-1, 1⟩
• Nie je prostá (rovnaké hodnoty y môžu mať viaceré hodnoty x)
• Je párna: platí cos(-x) = cos(x)
• Monotónnosť:
  • Klesajúca na intervale (0, π)
  • Rastúca na intervale (π, 2π)
• Extrémy:
  • Maximum v bodoch x = 2kπ, kde cos(x) = 1
  • Minimum v bodoch x = π + 2kπ, kde cos(x) = -1
• Je ohraničená:
  • Zhora ohraničená hodnotou 1
  • Zdola ohraničená hodnotou -1
• Je periodická s periódou 2π:
  cos(x + 2kπ) = cos(x) pre každé k ∈ Z

Hodnoty kosínusu pre základné uhly

Uhol (v stupňoch)	Uhol (v radiánoch)	cos(x)
0°	0	1
30°	π/6	√3/2
45°	π/4	√2/2
60°	π/3	1/2
90°	π/2	0

Graf funkcie kosínus

• Grafom funkcie je kosínusoida.
• Opakuje sa v pravidelných intervaloch 2π.
• Pretína os x v bodoch (π/2 + kπ), kde k ∈ Z.

Znamienka kosínusu v kvadrantoch

Kvadrant	Interval uhla	Znamienko cos(x)
I.	(0, π/2)	+
II.	(π/2, π)	-
III.	(π, 3π/2)	-
IV.	(3π/2, 2π)	+

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.