Postupnosť – maturitná téma

Postupnosť – maturitná téma

Definícia postupnosti

Postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel alebo na jej časti. Každému prirodzenému číslu npriraďuje práve jednu hodnotu a_n.

Rozlišujeme:

• Konečnú postupnosť – má konečný počet členov.
• Nekonečnú postupnosť – má nekonečný počet členov.

Zápis členov postupnosti

1. Vymenovaním členov:
   Napr. {2, 5, 8, 11, ...}
2. Predpisom pre n-tý člen:
   Napr. a_n = 2n + 1 (vyjadrenie všeobecného člena).

Typy postupností

1. Aritmetická postupnosť

Aritmetická postupnosť je postupnosť, kde rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi je konštantný.

• Všeobecný vzorec:
  a_n = a_1 + (n – 1) * d, kde:

  • a_1 je prvý člen,
  • d je diferencie (konštantný rozdiel medzi členmi).

• Súčet prvých n členov:
  S_n = (n/2) * (2a_1 + (n – 1) * d)

• Príklad:
  Ak máme postupnosť {3, 7, 11, 15, ...}, potom:

  • a_1 = 3, d = 4,
  • a_5 = 3 + (5 – 1) * 4 = 19.

2. Geometrická postupnosť

Geometrická postupnosť je postupnosť, kde podiel dvoch po sebe nasledujúcich členov je konštantný.

• Všeobecný vzorec:
  a_n = a_1 * q^(n – 1), kde:

  • a_1 je prvý člen,
  • q je kvocient (konštantný podiel medzi členmi).

• Súčet prvých n členov:
  S_n = a_1 * (1 – q^n) / (1 – q), ak q ≠ 1

• Príklad:
  Ak máme postupnosť {2, 6, 18, 54, ...}, potom:

  • a_1 = 2, q = 3,
  • a_5 = 2 * 3^(5 – 1) = 162.

Postupnosť daná rekurentne

Postupnosť je daná rekurentne, ak poznáme prvý člen a predpis, ako vypočítať ďalšie členy.

• Príklad rekurentnej aritmetickej postupnosti:
  a_1 = 2, a_n = a_(n-1) + 3
  Členy: {2, 5, 8, 11, ...}

• Príklad rekurentnej geometrickej postupnosti:
  a_1 = 3, a_n = 2 * a_(n-1)
  Členy: {3, 6, 12, 24, ...}

Vlastnosti postupnosti

1. Monotónnosť

   • Rastúca: a_n+1 > a_n
   • Klesajúca: a_n+1 < a_n
   • Konštantná: a_n+1 = a_n
   • Nerastúca: a_n+1 ≤ a_n
   • Neklesajúca: a_n+1 ≥ a_n

2. Ohraničenosť

   • Zdola ohraničená: existuje číslo d, pre ktoré platí a_n ≥ d.
   • Zhora ohraničená: existuje číslo h, pre ktoré platí a_n ≤ h.
   • Ohraničená: ak je ohraničená zhora aj zdola.

Limita postupnosti

• Ak hodnoty postupnosti a_n s rastúcim n smerujú k určitému číslu L, hovoríme, že postupnosť má limitu L.

• Zápis:
  lim (n → ∞) a_n = L

• Ak postupnosť má limitu, nazýva sa konvergentná.

• Ak limitu nemá, nazýva sa divergentná.

Príklad:
Ak máme postupnosť a_n = 1/n, potom:
lim (n → ∞) (1/n) = 0.

Grafické znázornenie postupnosti

• Graf postupnosti tvoria izolované body, pretože postupnosť je definovaná iba pre diskrétne hodnoty n (prirodzené čísla).

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.