Trigonometria – maturitná téma
Trigonometria – maturitná téma
Čo je trigonometria?
Trigonometria pochádza z gréckeho slova a v preklade
znamená „riešiť trojuholník“.
Riešiť trojuholník znamená vypočítať neznáme údaje, ako
sú:
- uhly,
- strany,
- ťažnice,
- výšky,
- obsah,
- obvod,
- polomer opísanej a vpísanej kružnice trojuholníka.
Pravouhlý trojuholník
Pytagorova veta
V pravouhlom
trojuholníku platí:
a² + b² = c²,
kde c je prepona a a, b sú
odvesny.
Geometrická interpretácia:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu
obsahov štvorcov zostrojených nad oboma odvesnami.
Euklidove vety
Euklidova veta o výške:
v_c² = c₁ * c₂
Výška pravouhlého trojuholníka je strednou hodnotou medzi úsekmi prepony.Euklidova veta o odvesne:
a² = c * c₁
b² = c * c₂
Odvesna je strednou hodnotou medzi celou preponou a príslušným úsekom prepony.
Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku
- Sínus:
sin(α) = protiľahlá odvesna / prepona - Kosínus:
cos(α) = priľahlá odvesna / prepona - Tangens:
tg(α) = protiľahlá odvesna / priľahlá odvesna - Kotangens:
cotg(α) = priľahlá odvesna / protiľahlá odvesna
Všeobecný trojuholník
Všeobecný trojuholník nemá pravý uhol, preto sa na jeho výpočty používajú iné metódy.
Sínusová veta
a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2R,
kde
R je polomer opísanej kružnice.
Význam:
V ľubovoľnom trojuholníku je pomer dĺžky strany k sínusu
protiľahlého uhla konštantný.
Kosínusová veta
c² = a² + b² – 2ab * cos(γ)
b² =
a² + c² – 2ac * cos(β)
a² = b² + c² – 2bc * cos(α)
Význam:
Pomáha vypočítať
stranu trojuholníka, ak poznáme dve strany a uhol medzi nimi.
Ak je cos(γ) kladný, uhol je ostrý.
Ak je cos(γ)
záporný, uhol je tupý.
Výpočet obsahu trojuholníka
- Pre pravouhlý
trojuholník:
S = (a * b) / 2 - Pre ľubovoľný trojuholník:
S = (a * v_a) / 2
S = (1/2) * a * b * sin(γ) - Heronov vzorec:
S = √[s * (s – a) * (s – b) * (s – c)],
kde s = (a + b + c) / 2 je polovičný obvod.
Kompletný učebný materiál na stiahnutie
Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.