Telesá – maturitná téma

Telesá – maturitná téma

Základné pojmy stereometrie

• Teleso – priestorový útvar ohraničený povrchom.
• Mnohosten – teleso ohraničené konečným počtom mnohouholníkov.

Pravidelné mnohosteny

Existuje päť pravidelných mnohostenov, ktorých steny sú pravidelné mnohouholníky:

1. Štvorsten (tetraéder) – trojboký ihlan s trojuholníkovou podstavou, všetky steny sú rovnostranné trojuholníky.
2. Šesťsten (hexaéder, kocka) – mnohosten ohraničený šiestimi navzájom zhodnými štvorcami.
3. Osemsten (oktaéder).
4. Dvanásťsten (dodekaéder).
5. Dvadsaťsten (ikosaéder).

Hranol

Hranol je mnohosten, ktorý má dve zhodné podstavy, ktoré ležia v rovnobežných rovinách.

Vlastnosti hranola

• Výška hranola – vzdialenosť podstáv.
• Plášť hranola – tvorí ho sústava rovinných stien (rovnobežníkov).
• Typy hranolov: trojboký, štvorboký, päťboký, atď.

Objem hranola

V = S_p * v, kde:

• S_p – obsah podstavy,
• v – výška hranola.

Povrch hranola

S = 2S_p + S_pl, kde:

• S_pl – obsah plášťa.

Špeciálne hranoly

• Kolmý hranol – má bočné steny kolmé na podstavu (napr. kocka, kváder).
• Pravidelný hranol – podstavou je pravidelný n-uholník.
• Rovnobežnosten – štvorboký hranol, ktorého podstavou je rovnobežník.

Kváder – kolmý rovnobežnosten s pravouhlými podstavami

• Objem: V = a * b * c.
• Povrch: S = 2(ab + bc + ca).

Kocka – špeciálny prípad kvádra, kde a = b = c

• Objem: V = a³.
• Povrch: S = 6a².

Ihlan

Ihlan je mnohosten, ktorého podstavou je mnohouholník a bočné steny sú trojuholníky.
Vrchol všetkých bočných stien sa nazýva vrchol ihlana, výška je kolmá vzdialenosť od vrcholu k podstave.

• Pravidelný ihlan – ak je podstavou pravidelný n-uholník.
• Zrezaný ihlan – vzniká rovinou rovnobežnou s podstavou.

Objem ihlana

V = (1/3) * S_p * v, kde:

• S_p – obsah podstavy,
• v – výška ihlana.

Povrch ihlana

S = S_p + S_pl, kde:

• S_pl – obsah plášťa.

Rotačné telesá

Vznikajú rotáciou rovinného útvaru okolo osi.

Rotačný kužeľ

• Vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho odvesien.
• Podstavou je kruh.
• Strana trojuholníka je tvorí plášť kužeľa.

Objem kužeľa

V = (1/3) * π * r² * v.

Povrch kužeľa

S = π * r * (r + s), kde:

• s je strana kužeľa.

Rotačný valec

• Vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej strany.
• Podstavy sú zhodné kruhy.

Objem valca

V = π * r² * v.

Povrch valca

S = 2π * r * (r + v).

Guľa

• Vznikne rotáciou polkruhu okolo jeho priemeru.
• Stred kruhu je stredom gule.

Objem gule

V = (4/3) * π * r³.

Povrch gule

S = 4π * r².

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.