Pytagorova veta a rovnoramenný lichobežník
Pytagorova veta a rovnoramenný lichobežník
Rovnoramenný lichobežník – základné pojmy
Rovnoramenný lichobežník je štvoruholník, ktorý má:
- dve rovnobežné strany – základne a, c,
- dve rovnako dlhé šikmé strany – ramená r,
- výšku v, ktorá je kolmá na základne.
Označenie:
- a – dolná základňa
- c – horná základňa
- r – rameno lichobežníka
- v – výška lichobežníka
Pytagorova veta v rovnoramennom lichobežníku
Po spustení výšky vzniknú na oboch stranách dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Ich vodorovná odvesna má dĺžku:
(a − c) / 2
Pre rameno platí vzťah:
r² = v² + ((a − c) / 2)²
Výpočet dĺžky ramena
Príklad 1
Vypočítaj dĺžku ramena rovnoramenného lichobežníka, ak:
- a = 11 cm
- c = 7 cm
- v = 5 cm
Najskôr vypočítame polovicu rozdielu základní:
(11 − 7) / 2 = 2 cm
Použijeme Pytagorovu vetu:
r² = 5² + 2²
r² = 25 + 4
r² = 29
r = 5,39 cm
Výpočet obvodu rovnoramenného lichobežníka
Obvod vypočítame ako súčet všetkých strán:
o = a + c + 2r
Príklad 2
Vypočítaj obvod rovnoramenného lichobežníka, ak:
- c = 9 cm
- v = 4 cm
- r = 5 cm
Najskôr vypočítame polovicu rozdielu základní:
r² = v² + b²
5² = 4² + b²
25 = 16 + b²
b² = 9
b = 3 cm
Dolná základňa:
a = 3 + 9 + 3
a = 15 cm
Obvod:
o = 15 + 9 + 2 · 5
o = 34 cm
Obsah rovnoramenného lichobežníka
Obsah vypočítame zo vzorca:
S = (a + c) · v / 2
Príklad 3
Vypočítaj obsah rovnoramenného lichobežníka, ak:
- a = 7 cm
- c = 4 cm
- r = 6 cm
Najskôr vypočítame výšku:
(7 −
4) / 2 = 1,5 cm
r² = v² + 1,5²
36 = v² + 2,25
v² = 33,75
v = 5,81 cm
Obsah:
S = (7 + 4) · 5,81 / 2
S
= 31,96 cm²
Postup riešenia úloh
Pri úlohách s rovnoramenným lichobežníkom:
- vždy rozdelíme lichobežník výškami na pravouhlé trojuholníky,
- použijeme Pytagorovu vetu na výpočet výšky alebo ramena,
- následne vypočítame obvod a obsah.
Úlohy na precvičenie
Vypočítaj:
- obvod a obsah rovnoramenného lichobežníka s rozmermi a = 13 cm, c = 8 cm, r = 7 cm,
- obvod a obsah rovnoramenného lichobežníka s rozmermi a = 10 cm, c = 16 cm, v = 5 cm.
Dôležitá poznámka
Pri rovnoramennom lichobežníku je kľúčové uvedomiť si, že rozdiel základní sa vždy rozdelí na dve rovnaké časti, ktoré spolu s výškou tvoria pravouhlý trojuholník. Vďaka tomu môžeme bezpečne použiť Pytagorovu vetu.