Pytagorova veta a rovnoramenný trojuholník
Pytagorova veta a rovnoramenný trojuholník
Rovnoramenný trojuholník – základné pojmy
Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorý má:
- dve rovnako dlhé strany – ramená r,
- jednu odlišnú stranu – základňu z,
- výšku v, ktorá je kolmá na základňu a zároveň ju rozdeľuje na dve rovnaké časti.
Označenie:
- r – rameno
- z – základňa
- v – výška
Pytagorova veta v rovnoramennom trojuholníku
Po spustení výšky vzniknú dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Každý z nich má:
- jednu odvesnu v,
- druhú odvesnu z / 2,
- preponu r.
Platí vzťah:
r² = v² + (z / 2)²
Výpočet výšky trojuholníka
Príklad 1
Vypočítaj výšku v rovnoramennom trojuholníku so základňou 8 cm a ramenom 12 cm.
z / 2 = 4 cm
12² = v² + 4²
144 = v² + 16
v² = 128
v = 11,31
cm
Výpočet dĺžky ramena
Príklad 2
Vypočítaj dĺžku ramena v rovnoramennom trojuholníku so základňou 11 cm a výškou 15 cm.
z / 2 = 5,5 cm
r² = 15² + 5,5²
r² = 225 + 30,25
r² =
255,25
r = 15,98 cm
Výpočet dĺžky základne
Príklad 3
Vypočítaj dĺžku základne v rovnoramennom trojuholníku s ramenom 18 cm a výškou 13 cm.
18² = a² + 13²
324 = a² + 169
a² =
155
a = 12,45 cm
z = 2 · a
z = 24,9 cm
Obvod rovnoramenného trojuholníka
Obvod vypočítame ako súčet všetkých strán:
o = z + 2 · r
Obsah rovnoramenného trojuholníka
Obsah vypočítame zo vzorca:
S = (z · v) / 2
Príklad 4
Vypočítaj obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka s výškou 8 cm a základňou 5 cm.
Najskôr vypočítame rameno:
r² = 8² + 2,5²
r² = 64 +
6,25
r² = 70,25
r = 8,38 cm
Obvod:
o = 5 + 2 · 8,38
o = 21,76 cm
Obsah:
S = 5 ·
8 / 2
S = 20 cm²
Postup riešenia úloh
Pri úlohách s rovnoramenným trojuholníkom:
- vždy spustíme výšku na základňu,
- uvedomíme si, že základňa sa rozdelí na dve rovnaké časti,
- použijeme Pytagorovu vetu,
- následne vypočítame obvod a obsah.
Úlohy na precvičenie
Vypočítaj:
- obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka so základňou 17 cm a ramenom 15 cm,
- obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka s výškou 11 cm a základňou 9 cm,
- obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka s ramenom 16 cm a výškou 10 cm.
Dôležitá poznámka
V rovnoramennom trojuholníku výška vždy rozdeľuje základňu na dve rovnaké časti a vytvára pravouhlý trojuholník, vďaka čomu je použitie Pytagorovej vety prirodzené a veľmi efektívne.