Pytagorova veta a rovnostranný trojuholník

Pytagorova veta a rovnostranný trojuholník

Rovnostranný trojuholník – základné pojmy

Rovnostranný trojuholník je trojuholník, ktorý má:

• všetky tri strany rovnako dlhé,
• všetky vnútorné uhly rovné (každý má 60°),
• výšku, ktorá je zároveň osou strany, ťažnicou aj výškovou priamkou.

Označenie:

• a – dĺžka strany
• v – výška trojuholníka

Pytagorova veta v rovnostrannom trojuholníku

Po spustení výšky sa rovnostranný trojuholník rozdelí na dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Každý z nich má:

• preponu a,
• jednu odvesnu v,
• druhú odvesnu a / 2.

Platí vzťah:

a² = v² + (a / 2)²

Výpočet výšky rovnostranného trojuholníka

Príklad 1

Vypočítaj dĺžku výšky rovnostranného trojuholníka so stranou 7 cm.

a / 2 = 3,5 cm

7² = v² + 3,5²
49 = v² + 12,25
v² = 36,75
v = 6,06 cm

Obvod rovnostranného trojuholníka

Obvod vypočítame zo vzorca:

o = 3 · a

Obsah rovnostranného trojuholníka

Obsah vypočítame zo vzorca:

S = (a · v) / 2

Príklad 2

Vypočítaj obvod a obsah rovnostranného trojuholníka so stranou 12 cm.

Najskôr výška:

12² = v² + 6²
144 = v² + 36
v² = 108
v = 10,39 cm

Obvod:

o = 3 · 12
o = 36 cm

Obsah:

S = 12 · 10,39 / 2
S = 62,35 cm²

Postup riešenia úloh

Pri úlohách s rovnostranným trojuholníkom:

• vždy spustíme výšku na základňu,
• uvedomíme si, že základňa sa rozdelí na dve rovnaké polovice,
• použijeme Pytagorovu vetu,
• následne vypočítame obvod a obsah.

Úlohy na precvičenie

Vypočítaj:

• dĺžku výšky rovnostranného trojuholníka so stranou 21 cm,
• obvod a obsah rovnostranného trojuholníka so stranou 21 cm.

Dôležitá poznámka

V rovnostrannom trojuholníku výška vždy vytvára pravouhlý trojuholník, vďaka čomu môžeme veľmi jednoducho použiť Pytagorovu vetu na výpočet výšky, obsahu aj ďalších vlastností.