Pytagorova veta a štvorec

Pytagorova veta a štvorec

Štvorec – základné pojmy

Štvorec je štvoruholník, ktorý má:

• všetky strany rovnako dlhé,
• všetky vnútorné uhly pravé,
• uhlopriečky rovnako dlhé a navzájom kolmé.

Označenie:

• a – dĺžka strany štvorca
• u – uhlopriečka štvorca

Pytagorova veta v štvorci

Uhlopriečka štvorca rozdeľuje štvorec na dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Odvesny majú dĺžku a a a, prepona je uhlopriečka u.

Platí vzťah:

u² = a² + a²
u² = 2a²

Výpočet uhlopriečky štvorca

Príklad 1

Vypočítaj dĺžku uhlopriečky štvorca so stranou a = 7 cm.

u² = 7² + 7²
u² = 49 + 49
u² = 98
u = 9,9 cm

Výpočet strany štvorca z uhlopriečky

Ak poznáme uhlopriečku, dĺžku strany vypočítame zo vzorca:

a² = u² : 2

Príklad 2

Vypočítaj obvod a obsah štvorca, ak u = 13 cm.

a² = 13² : 2
a² = 169 : 2
a² = 84,5
a = 9,19 cm

Obvod štvorca

Obvod vypočítame zo vzorca:

o = 4 · a

Príklad:

o = 4 · 9,19
o = 36,77 cm

Obsah štvorca

Obsah vypočítame zo vzorca:

S = a²

Príklad:

S = 9,19²
S = 84,5 cm²

Postup riešenia úloh

Pri úlohách so štvorcom:

• uvedomíme si, že uhlopriečka vždy vytvára pravouhlý trojuholník,
• použijeme Pytagorovu vetu na výpočet uhlopriečky alebo strany,
• následne vypočítame obvod a obsah.

Úlohy na precvičenie

Vypočítaj:

• obvod a obsah štvorca, ak jeho uhlopriečka je dlhá 15,75 cm,
• dĺžku uhlopriečky štvorca so stranou 11,3 cm.

Dôležitá poznámka

V štvorci sú obe odvesny pravouhlého trojuholníka vždy rovnako dlhé, preto sa Pytagorova veta výrazne zjednoduší na vzťah u² = 2a², čo umožňuje rýchle a prehľadné výpočty.