Pytagorova veta a štvorec
Pytagorova veta a štvorec
Štvorec – základné pojmy
Štvorec je štvoruholník, ktorý má:
- všetky strany rovnako dlhé,
- všetky vnútorné uhly pravé,
- uhlopriečky rovnako dlhé a navzájom kolmé.
Označenie:
- a – dĺžka strany štvorca
- u – uhlopriečka štvorca
Pytagorova veta v štvorci
Uhlopriečka štvorca rozdeľuje štvorec na dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Odvesny majú dĺžku a a a, prepona je uhlopriečka u.
Platí vzťah:
u² = a² + a²
u² = 2a²
Výpočet uhlopriečky štvorca
Príklad 1
Vypočítaj dĺžku uhlopriečky štvorca so stranou a = 7 cm.
u² = 7² + 7²
u² = 49 + 49
u² =
98
u = 9,9 cm
Výpočet strany štvorca z uhlopriečky
Ak poznáme uhlopriečku, dĺžku strany vypočítame zo vzorca:
a² = u² : 2
Príklad 2
Vypočítaj obvod a obsah štvorca, ak u = 13 cm.
a² = 13² : 2
a² = 169 : 2
a² = 84,5
a = 9,19 cm
Obvod štvorca
Obvod vypočítame zo vzorca:
o = 4 · a
Príklad:
o = 4 · 9,19
o = 36,77 cm
Obsah štvorca
Obsah vypočítame zo vzorca:
S = a²
Príklad:
S = 9,19²
S = 84,5 cm²
Postup riešenia úloh
Pri úlohách so štvorcom:
- uvedomíme si, že uhlopriečka vždy vytvára pravouhlý trojuholník,
- použijeme Pytagorovu vetu na výpočet uhlopriečky alebo strany,
- následne vypočítame obvod a obsah.
Úlohy na precvičenie
Vypočítaj:
- obvod a obsah štvorca, ak jeho uhlopriečka je dlhá 15,75 cm,
- dĺžku uhlopriečky štvorca so stranou 11,3 cm.
Dôležitá poznámka
V štvorci sú obe odvesny pravouhlého trojuholníka vždy rovnako dlhé, preto sa Pytagorova veta výrazne zjednoduší na vzťah u² = 2a², čo umožňuje rýchle a prehľadné výpočty.