Pytagorova veta

Pytagorova veta

Úvod
Matematika je veľmi zaujímavá veda, ktorú sa oplatí skúmať. Matematické poznatky sú v praxi veľmi dôležité. Využívajú sa ako v každodennom živote, tak aj v staviteľstve, bankovníctve, fyzike, informatike,... Napríklad digitálne technológie, bez ktorých si už dnes ani nevieme predstaviť život, by bez matematiky nemohli existovať. Tému Pytagorova veta som si vybral preto, lebo táto veta patrí k najslávnejším matematickým poznatkom. Pytagorovu vetu zrejme už poznáte, avšak táto veta má veľa zaujímavostí, o ktorých možno ešte neviete. Touto prácou by som vám teda chcel objasniť niektoré fakty o Pytagorovej vete. Táto práca je zameraná najmä na dôkazy a využitie Pytagorovej vety. Najprv sa však dozviete sa niečo z histórie Pytagorovej vety a prečo je táto veta pomenovaná po Pytagorovi. Potom vám prostredníctvom rôznych dôkazov ukážem, prečo Pytagorova veta funguje. Nebude chýbať ani dôkaz obrátenej Pytagorovej vety. Nakoniec zistíte, kde všade sa dá Pytagorova veta využiť.

1 Čo je Pytagorova veta
Pytagorova veta je jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Znie takto: „Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.“ Formálne sa dá vyjadriť vzťahom c2=a2+b2 (obr. 1). Čiže keď poznáme dĺžky dvoch strán pravouhlého trojuholníka, tak pomocou tohto vzťahu vieme dopočítať dĺžku tretej strany. Pytagorova veta však platí aj obrátene. Obrátená Pytagorova veta hovorí, že keď pre dĺžky strán trojuholníka platí c2=a2+b2, tak potom je tento trojuholník pravouhlý.

Útvary zostrojené nad stranami trojuholníka však nemusia byť štvorce. Môžu to byť ľubovoľné plošné útvary. Dôležité je to, aby tieto útvary boli navzájom podobné a aby pomer zväčšenia týchto útvarov bol rovnaký ako pomer dĺžok strán trojuholníka (obr. 2, 3). Platí to preto, lebo pomer obsahu štvorca a daného plošného útvaru je pre ľubovoľné zväčšenie konštantný, a touto konštantou môžem vzťah c2=a2+b2 vynásobiť.
 
2 Obdobie pred Pytagorom
Ľudia poznali Pytagorovu vetu dávno pred tým, ako žil Pytagoras. Táto veta bola známa vo viacerých starovekých krajinách, napríklad v Číne, Indii a Egypte.
 
2.1 Staroveká Čína
Potreby rozvinutej spoločnosti v Číne dávali bezprostredný podnet pre získanie poznatkov o počítaní a meraní. To bolo bezprostredne spojené so spoločenskou praxou. Veľké stavby (napr. Veľký čínsky múr), zavlažovacie systémy, cesty vyžadovali ucelené poznatky z astronómie a matematiky. Preto si práve matematika v tejto spoločnosti získala významné postavenie. Od 7. storočia museli uchádzači o štátnu službu skladať skúšku z matematiky. Hlavnou učebnicou matematiky bol traktát Matematika v deviatich knihách, v nej sa nachádzali rozpracované algoritmy na riešenie určitých typov úloh. Vedeli napríklad riešiť sústavy lineárnych rovníc, niektoré kvadratické a diofantické rovnice, poznali záporné čísla a z geometrie používali podobnosť trojuholníkov a Pytagorovu vetu (nazývali ju Shang Gaova veta). Shang Gao dokázal túto vetu pre trojuholník s dĺžkami strán 3 j. d., 4 j. d. a 5 j. d. (obr. 9). (j. d. = jednotka dĺžky, napríklad centimeter)
 
2.2 Staroveký Egypt
Starovekí Egypťania pri veľkých stavbách, napríklad pri stavbách pyramíd, potrebovali vytýčiť pravý uhol. Robili to tak, že na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké. Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (obr. 10). Takto vytvorili trojuholník s dĺžkami strán 3 j. d., 4 j. d. a 5 j. d., čo je podľa obrátenej Pytagorovej vety pravouhlý trojuholník, a teda uhol 148 je pravý.
 
3 Pytagoras
Pytagoras (obr. 11) je jednou z najvýraznejších postáv staroveku – starogrécky filozof, nábožensko-morálny reformátor, matematik, astronóm, akustik. Žil v 6. stor. pred Kristom a pochádzal z ostrova Samos. Vychovávali a vyučovali ho najpreslávenejší mudrci tej doby. Je autorom známeho výroku: ,,Najkratšie odpovede – áno a nie – vyžadujú najdlhšie rozmýšľanie.“
Pytagoras založil spolok Pytagorejcov. Toto spoločenstvo bolo eticko-politickým a filozoficko-náboženským spolkom. Pytagorejci zobrazovali čísla pomocou bodiek, ktoré zoskupovali do geometrických útvarov. Takto vytvorili tzv. figurálne čísla: trojuholníkové čísla (1, 3, 6,...), štvorcové čísla (1, 4, 9,...) a pod (obr. 12, 13). Tento geometrický jazyk im umožňoval dokázať tvrdenia, ktoré dnes väčšinou zapisujeme algebricky, napríklad, že súčet dvoch po sebe idúcich trojuholníkových čísel je číslo štvorcové. Pytagorejci považovali Pytagora za veľkú autoritu a výrok „Pytagoras to povedal“ sa vraj používal ako argument pri uplatňovaní nejakého názoru. Keď však Pytagorova veta bola známa oveľa skôr, ako sa Pytagoras narodil, tak prečo je pomenovaná práve po ňom?

V iných starovekých civilizáciách vedeli, že Pytagorova veta platí pre niektoré špeciálne pravouhlé trojuholníky (napr. s dĺžkami strán 3 j. d., 4 j. d. a 5 j. d.). Domnievali sa, že to platí aj pre iné pravouhlé trojuholníky, ale nemali o tom žiadny dôkaz. Úlohou Pytagora teda bolo túto hypotézu dokázať. a vďaka tomu, že Pytagoras našiel všeobecný dôkaz tejto vety, je pomenovaná práve po ňom.
 
4 Dôkazy Pytagorovej vety
V súčasnosti existuje viac ako 300 dôkazov. Ukážeme si štyri z nich a napokon aj dôkaz obrátenej Pytagorovej vety.
 
4.1 Klasický (knižný) dôkaz
Tento dôkaz vychádza z pravouhlého lichobežníka, ktorý je zložený z troch pravouhlých trojuholníkov (obr. 2). Trojuholník BCK je pravouhlý preto, lebo uhol DKC je zhodný s uhlom ABK a keďže trojuholník ABK je pravouhlý, tak súčet veľkostí uhlov DKC a BKA je 90°, a teda veľkosť uhla CKB musí byť (doplnok do 180°) tiež 90°. Obsah lichobežníka ABCD teda môžeme vyjadriť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je klasický výpočet cez vzorec „obsah sa rovná polovici súčtu dĺžok základní vynásobenej výškou,“ teda S=(a+b)(b+a)/2=a2/2+ab+b2/2. Druhý spôsob je spočítať súčet obsahov trojuholníkov ABK, BCK a DKC, teda S=ab/2+c2/2+ab/2=ab+c2/2. Porovnaním týchto výrazov dostaneme a2/2+ab+b2/2=ab+c2/2, čo je po úprave a2+b2=c2 a dôkaz je hotový.
 
4.2 Dôkaz cez Euklidove vety
4.2.1 Euklides
Euklides (obr. 14) bol grécky matematik, ktorý žil v 3. stor. p. n. l. Napísal zväzok Základy pozostávajúci z 13 kníh, v ktorých systematicky zhrnul dovtedy známe matematické zákonitosti, najmä z oblasti geometrie. Piata kniha sa zaoberá zhodnosťou trojuholníkov. Práve v nej sa píše o Euklidových vetách.
 
4.2.2 Euklidove vety
Poznáme tri Euklidove vety: dve o odvesnách a jednu o výške. Euklidove vety o odvesnách hovoria, že a2=c*ca a tiež b2=c*cb, kde ca a cb sú úseky prepony, ktoré od seba oddeľuje päta výšky na preponu (obr. 3). Dôkaz prvej z nich vyplýva z podobnosti trojuholníkov ABC a CBP (tie sú podobné podľa vety uu). z tejto podobnosti platí a/c=ca/a, z čoho po úprave dostaneme a2=c*ca. Analogicky sa dá dokázať aj druhá veta o odvesne.
Z podobnosti trojuholníkov APC a CPB vyplýva Euklidova veta o výške: v2=ca*cb.
 
4.2.3 Dôkaz Pytagorovej vety
Pytagorova veta sa dá jednoducho dokázať sčítaním rovností, o ktorých hovoria Euklidove vety o odvesnách: a2+b2=c*ca+c*cb=c*(ca+cb)=c*c=c2.
 
4.3 Dôkaz cez preskupenie
Tento dôkaz využíva to, že keď nejakú časť štvorca zakryjeme štyrmi trojuholníkmi, a potom iným spôsobom znovu zakryjeme nejakú časť toho istého štvorca tými istými štyrmi trojuholníkmi, tak plocha nezakrytej časti za nezmení. Čiže plocha nezakrytej časti štvorca na obrázku 4 vľavo sa rovná ploche nezakrytej časti štvorca na obrázku 4 vpravo, čo dokazuje platnosť Pytagorovej vety.

4.4 Dôkaz cez poskladanie obdĺžnika
Pytagorova veta sa dá dokázať aj nasledovným spôsobom: vezmime si tri zhodné pravouhlé trojuholníky. Jeden z nich zväčšime a-krát, druhý b-krát a tretí c-krát a umiestnime ich tak, ako na obrázku 5. Keďže uhly BCD a CDA sú pravé a strany AD a BC sú rovnako dlhé, tak útvar ABCD musí byť obdĺžnik. Potom ale aj strany AB a CD musia byť rovnako dlhé, takže platí c*c=b*b+a*a, teda c2=a2+b2.
 
4.5 Dôkaz obrátenej Pytagorovej vety
Všetky doteraz uvedené dôkazy dokazovali len pôvodnú Pytagorovu vetu. Bolo by však vhodné ukázať si aj platnosť obrátenej Pytagorovej vety. Využijeme pri tom pôvodnú Pytagorovu vetu. Majme trojuholník so stranami a, b, c, pre ktoré platí a2+b2=c2. Zostrojme ďalší trojuholník so stranami dĺžok a, b, ktoré zvierajú pravý uhol. Potom podľa Pytagorovej vety je prepona tohto trojuholníka dlhá c=√a2+b2, teda je rovnako dlhá ako tretia strana pôvodného trojuholníka. Čiže tieto trojuholníky majú rovnaké dĺžky všetkých troch strán, a teda sú zhodné. Vďaka tomu majú aj rovnako veľké uhly, a teda aj pôvodný trojuholník musí mať pravý uhol. Týmto je obrátená Pytagorova veta dokázaná.
 
5. Využitie Pytagorovej vety
Okrem klasického použitia Pytagorovej vety v pravouhlom trojuholníku alebo použitia obrátenej Pytagorovej vety na zistenie, či trojuholník je pravouhlý, má Pytagorova veta ešte aj mnohé ďalšie možnosti využitia.
 
5.1 Dĺžka uhlopriečky
Keď si zoberieme štvorec alebo obdĺžnik a zostrojíme v ňom uhlopriečku, vznikne tu pravouhlý trojuholník. Vďaka tomu môžeme vyrátať dĺžku uhlopriečky. Správne zvolená stenová uhlopriečka a strana telesa spolu s telesovou uhlopriečkou kocky, resp. kvádra tiež tvoria pravouhlý trojuholník (obr. 6), a teda zo známych rozmerov tohto telesa nie je problém vypočítať aj dĺžku jeho telesovej uhlopriečky.
 
5.2 Konštrukcia úsečiek s dĺžkou vyjadrenou v tvare √n
Existuje viacero spôsobov, ako zostrojiť úsečky, ktorých dĺžka je rovná odmocnine z celého čísla. Jeden z nich využíva Pytagorovu vetu. Mimochodom, na obrázku 6 už je znázornený postup, ako pomocou Pytagorovej vety zostrojiť úsečku s dĺžkou √2 j. d.: zostrojiť štvorec so stranou dlhou 1 j. d. a potom jeho uhlopriečku. Táto uhlopriečka je hľadaná úsečka s dĺžkou √2 j. d. Sledujme teraz nasledujúci postup: v krajnom bode úsečky s dĺžkou √x zostrojme kolmicu na túto úsečku dlhú 1 j. d. Tieto úsečky považujme za odvesny pravouhlého trojuholníka a trojuholník dokončime spojením krajných bodov odvesien, teda zostrojením prepony tohto trojuholníka. Podľa Pytagorovej vety bude mať táto prepona dĺžku √x+1. Týmto spôsobom teda môžeme zostrojiť akúkoľvek úsečku s dĺžkou √n (obr. 7).

5.3 Vzdialenosť dvoch bodov v súradnicovej sústave, dĺžka vektora
Keď máme zadané súradnice dvoch bodov v rovine, môžeme vďaka Pytagorovej vete vypočítať ich vzdialenosť, a to tak, že si domyslíme pravouhlý trojuholník (obr. 8). Potom podľa Pytagorovej vety platí: |AB|2=(xa-xb)2+(ya-yb)2. Podobným spôsobom sa dá vyjadriť vzdialenosť dvoch bodov v priestore: |AB|2=(xa-xb)2+(ya-yb)2+(za-zb)2 (je to vlastne obdoba výpočtu telesovej uhlopriečky kvádra). Dĺžka vektora sa tiež dá určiť týmto spôsobom. Táto hodnota je vlastne vzdialenosť koncových bodov vektora. Teda keď vypočítame vzdialenosť bodov určujúcich daný vektor, tak táto hodnota sa rovná hľadanej dĺžke vektora.
 
5.4 Vzťah medzi funkciami sínus a kosínus
Medzi goniometrickými funkciami sínus a kosínus platí pre ľubovoľný uhol α vzťah (sin α)2+(cos α)2=1, vďaka čomu vieme zo známej hodnoty sínusu, resp. kosínusu daného uhla dopočítať druhú z týchto dvoch hodnôt. Tento vzťah sa dá opäť dokázať Pytagorovou vetou.
Pri bežnom označení strán a uhlov pravouhlého trojuholníka platí sin α=a/c, cos α=b/c. Potom (sin α)2+(cos α)2=a2/c2+b2/c2=(a2+b2)/c2=c2/c2=1 a dôkaz je hotový.

Záver
Cieľom tejto práce bolo rozšíriť vaše vedomosti o Pytagorovej vete. Myslím si, že o matematických zákonitostiach je najdôležitejšie vedieť prečo fungujú a ako ich využiť. Preto som uviedol viacero dôkazov, aby ste do tejto oblasti videli z viacerých uhlov pohľadu a vďaka tomu lepšie pochopili podstatu Pytagorovej vety. Následne som vás oboznámil s niekoľkými možnosťami, kde sa dá Pytagorova veta využiť. Verím, že táto práca obohatila vaše vedomosti a že viaceré komplikované úlohy si budete vedieť zjednodušiť práve tým, že v nich objavíte Pytagorovu vetu.