Zaujímavosti o prvočíslach

Prírodné vedy » Matematika

Autor: Dievča milena (24)
Typ práce: Referát
Dátum: 30.03.2014
Jazyk: Slovenčina
Rozsah: 3 602 slov
Počet zobrazení: 7 756
Tlačení: 307
Uložení: 324
Zaujímavosti o prvočíslach
 
1. Úvod
1.1 O práci
Táto práca sa zaoberá problematikou prvočísel. Dozvieme sa o ich histórii, súčastnom využití a o zaujímavostiach, ktoré sa prvočísel týkajú. Prvočísla boli počas celej histórie matematiky považované za niečo magické a doteraz je v tejto téme mnoho neobjaveného. Navyše prvočísla sú používané v oblasti jednosmerného šifrovania, ktoré by samo o sebe mohlo tvoriť celú prácu, preto sa ho tu dotkneme len veľmi okrajovo.  Prvočísla a matematika všeobecne je téma, v ktorej sa fakty nemenia, všetko považované za platné má svoj dôkaz, no nové objavy, hypotézy a vety tvoria matematici aj teraz, preto je možné, že niektoré informácie budú čoskoro neaktuálne. Cieľom práce je objasniť základné poznatky o prvočíslach prístupnou formou.

1.2 Metodika práce

Informácie ku práci sme získavali najmä z internetu, kde sú popísané hlavne najnovšie problematiky, z kníh, kde sú prvočísla rozobraté po už dávno známej stránke. Na mnoho faktov sme prišli sami pomocou našich doterajších školských vedomostí. Práca bola písaná postupne – každá kapitola síce používa informácie z predchádzajúcich, ale výklad je čitateľ schopný pochopiť aj zo samotnej kapitoly. V kapitole o hľadaní prvočísel sú uvedené niektoré metódy hľadania, ktorých algoritmy sme overovali v programovacích jazykoch Turbo Pascal alebo PHP4 podľa časovej a pamäťovej náročnosti. Dôkazy, ktoré sú v tretej kapitole rozobraté sme spracovali stručne kvôli nedostatku priestoru, preto by mal mať čitateľ vedomosti zo základov teórie čísel aby si každý krok dôkazu dokázal vysvetliť.

1.3 O kapitolách
Úvod – informácie o práci,metodika práce, problémy pri spracovávaní a popis jednotlivých častí nájdete v úvode práce.
Čo sú to prvočísla – v tejto časti nájdeme definíciu prvočísel, oboznámime sa s ich históriou – odkedy začali byť pre ľudí zaujímavé ,  ako vplývali na udalosti doby a podobne. Dozvieme sa tiež niečo o dôkaze, že prvočísel je nekonečne veľa.Tiež si povieme či sú prvočísla pravidelne rozmiestnené.
Hypotézy a dôkazy – ľudia, ktorí sa prvočíslam venovali, vyslovili mnoho hypotéz a niektoré aj boli dokázané. V tejto kapitole si povieme aspoň o tých najslávnejších. Výnimkou bude Lineárna hypotéza o Merssenových prvočíslach, o ktorej bude reč až o kapitolu neskôr, keď sa dozviete, čo vlastne Merssenové prvočísla sú.
Špeciálne typy prvočísel – aj prvočísla môžeme istým spôsobom deliť a v tejto kapitole si povieme o niektorých špeciálnych typoch prvočísel, ako aj čo je na nich zaujímavé.
Hľadanie prvočísel – v tejto kapitole si ukážeme niekoľko základných algoritmov na hľadanie prvočísel, povieme si ako fungujú a prečo sú alebo nie sú efektívne. Každý algoritmus ma nejaké nevýhody, čo záleží od jeho zložitosti.
Využitie prvočísel – väčšina ľudí sa o prvočísla zaujíma hlavne kvôli ich využitiu. Keďže sa väčšinou využíva faktorizácia čísel(o ktorej si viac povieme práve v tejto časti), ich využitie spočíva v nájdení čo najväčších prvočísel čo nie je vždy najjednoduchšie, ale ak človek vie ako na to, môže aj poriadne zarobiť.
Záver – v závere zhrnieme prínos práce.
Použitá literatúra – zoznam použitej literatúry

2. Čo sú to prvočísla?
2.1 História
Ako prví sa o prvočísla zaujímali Gréci. Medzi rokmi 500p.n.l. a 300p.n.l  Pythagoras so svojimi učenníkmi skúmali čísla kvôli mystickým a číselným vlastnostiam. Zaviedli pojmy ako dokonalé čísla a súhlasné čísla (presnejšie pár súhlasných čísel). Dokonalým číslom označili číslo, ktorého súčet deliteľov dáva dané číslo. Napríklad číslo 6 je dokonalé, pretože súčet jeho deliteľov 1+2+3 je 6, tak isto aj 28 má deliteľov 1,2,4,7,14 a ich súčet dáva výsledok 28. Súhlasné čísla sú také dve čísla, pre ktoré platí, že súčet deliteľov jedného, dáva druhé číslo a naopak. Príkladom takýchto čísel sú napríklad 220 a 284. Po Pythagorovi prišiel Euklides, ktorý okolo roku 300p.n.l. vydal 13 kníh pod názvom Stoicheia (Základy). V deviatej knihe Základov hovorí Euklides, že “Prvočísel je viac ako akékoľvek dané množstvo prvočísel” čo vlastne znamená, že prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz tohto tvrdenia uvedieme v časti 2.3. .Euklides tiež dokázal, že ak 2n –1 je prvočíslo, tak 2n-1(2n -1) je dokonalé číslo. Neskôr (roku 1747) Euler ukázal, že každé dokonalé číslo je v takomto tvare. Asi 200 rokov pred Kristom grécky matematik Erathostenes našiel prvý účinejší algoritmus (účinnejší ako kontrolovanie všetkých čísel postupne), ktorý sa na jeho počesť nazýva Erathostenovo sito.
V poznaní prvočísel nasleduje dlhá pauza nazývaná aj Temný vek. V tomto čase bolo nových poznatkov málo. Ďalší dôležitý vývin zaznamenávame až v sedemnástom storočí, kedy Fermat urobil mnoho objavov, avšak väčšinu z nich žiaľ nedokázal (napríklad Veľká Fermatova veta ktorá bola dokázaná len nedávno a jej dôkaz má vyše 200 strán). Fermat vytvoril novú metódu faktorizácie čísel. Malá Fermatova veta hovorí, že ak p je prvočíslo a a prirodzené číslo, tak ap – a je deliteľné číslom p. Táto veta je používaná v teórii čísel dodnes. O tom, že aj matematik sa môže pomýliť, nás presvedčil Fermat svojim generátorom prvočísel. Povedal, že každé číslo v tvare 2x + 1 kde x je mocnina dvojky je prvočíslo. Ako som už povedal, Fermat svoje tvrdenia nedokazoval a teda aj vyvrátenie tejto hypotézy ostalo na Eulerovi, ktorý ukázal, že číslo 4 294 967 297= 232 +1 je zložené. Zatiaľ čo sa Fermat zaoberal číslami v tvare 2x + 1, jeho rovesník Mersenne hľadal prvočísla v tvare 2n –1, o ktorých si viac povieme v kapitole 4.1.. Od 18. do 20. storočia sa toho o prvočíslach zistilo veľmi veľa (niektoré poznatky sú uvedené v iných kapitolách práce, niektoré pre ich zložitosť nie sú uvedené alebo sú spomenuté len na okraj) V 21. storočí sa objavilo 39. Mersennovo prvočíslo (2001).
 
2.2 Definícia
Stále ešte nevieme, čo vlastne prvočíslo je. Prvočísla sa dajú definovať dvoma spôsobmi – buď o nich hovoríme ako o prirodzených číslach, alebo ako o celých. Z praktického hľadiska sú zaujímavé len prirodzené prvočísla, preto je zbytočné definíciu rozširovať pre celé čísla. V definícii je použitý pojem deliteľ . Preto je potrebné zadefinovať tento pojem:
Definícia : Nech čísla a, b a k sú prirodzené. Číslo a nazveme deliteľom čísla b práve vtedy, keď číslo b vieme zapísať v tvare b = a.k .
Z definície je zrejmé, že deliteľ každého prirodzeného čísla je jednotka. Napíšme teraz už definíciu prvočísla:
Definícia : Prvočíslom nazývame každé prirodzené číslo p, ktoré má práve dvoch rôznych deliteľov: 1 a p.
Všetky prirodzené čísla sa delia do troch skupín: prvočísla, zložené čísla a jednotka. Každé zložené číslo je deliteľné nejakým prvočíslom.
 
2.3 Koľko je prvočísel?
Ako bolo uvedené v časti 2.1., prvočísel je nekonečne veľa. Dôkaz uviedol už Euklides vo svojich Základoch. Znie takto :

Predpokladáme, že prvočísel je konečne veľa, teda existuje číslo pi také, že každé iné prvočíslo je od neho menšie. Označme si všetky prvočísla p1,p2,p3,...,pi pričom predpokladáme, že p1 je najmenšie a pi najväčšie. Potom číslo x = p1.p2.p3. ... .pi +1 . Číslo x môže byť buď zložené, alebo prvočíslo. Ak je zložené, musí byť deliteľné nejakým prvočíslom. Predpokladajme, že je deliteľné pn , kde n je prirodzené číslo menšie alebo rovné číslu i. Teda x = pn.k (k je prirodzené). Spojme rovnice, ktoré máme a dostaneme : pn.k =  p1.p2.p3. ... .pi +1 . Odpočítame p1.p2.p3. ... .pi a dostaneme pn.k -  p1.p2.p3. ... .pi = 1 . Keďže jedno z čísel p1 až pi je pn, môžme ho vybrať pred zátvorku: pn(k – (p1.p2.p3. ... .pi)/pn) = 1 pn je prirodzené, väčšie ako 1, číslo (k – (p1.p2.p3. ... .pi)/pn) je tiež prirodzené (k je prirodzené a aj súčin všetkých prvočísel vydelený jedným z nich je prirodzený) a súčin dvoch prirodzených čísel, z ktorých je jedno väčšie ako 1, nemôže byť rovný jednej, z čoho vyplýva, že predpoklad je nesprávny a teda prvočísel je nekonečne veľa.
 
2.4  Výskyt prvočísel
 
  Mnoho matematikov sa snažilo povedať o prvočíslach, či sú alebo nie sú pravidelne usporiadané. Doteraz sa žiadnemu nepodarilo nájsť žiaden systém, no nikto ani nedokázal, že v prvočíslach žiadna pravidelnosť nie je. Je to jedna z mnohých nezodpovedaných otázok matematiky.
  Čo sa ale vie je, že pre ľubovolné n (n je prirodzené číslo) sa medzi n a 2n nachádza aspoň jedno prvočíslo. Túto hypotézu vyslovil francúz Bertrand a dokázal ju rus Chebyshev. Zatiaľ nedokázaná hypotéza hovorí, že medzi n2 a (n+1)2 je vždy aspoň jedno prvočíslo.
 
3. Hypotézy a dôkazy
O prvočíslach  sa vyslovilo mnoho predpokladov, niektoré sú slávnejšie, niektoré menej. Veľa z nich je dôležitých pri hľadaní prvočísel. Samozrejme použiť sa dajú, až keď sú dokázané. Nebudeme dokazovať všetky tvrdenia pretože týchto je oveľa viac ako sa do tejto práce zmestí. Do práce sme vybrali dôkazy, ktoré nie sú príliš rozsiahle, a ktorých myšlienka je zaujímavá. Ďalej uvedieme niekoľko hypotéz, o ktorých tiež povieme, či sú už dokázané alebo sa to zatiaľ nikomu nepodarilo.

Prvým dôkazom, ktorý uvedieme je, že pre každé zložené číslo m vieme nájsť prvočíslo menšie nanajvýš rovné druhej odmocnine z tohto čísla m, ktoré delí toto číslo. Dôkaz vyzerá nasledovne:
Každé zložené číslo m môžeme vyjadriť ako m = xy (pretože je zložené) kde x, y > 1, x > y a x,y patria medzi prirodzené čísla. Ak by platilo, že y > √m , tak by tiež muselo platiť, že x > √m a teda xy > (√m)2 = m. Z toho ale vyplýva, že súčin xy je väčší ako m, a tak nastáva spor s predpokladom. Teda y < √m . Ak je y prvočíslo, dôkaz je ukončený. Ak je to zložené číslo, tak nájdeme prvočíslo p, ktoré delí y a teda keďže p < y tak p < √m, čo sme potrebovali dokázať.
 
Druhý dôkaz, ktorý uvedieme, je dôkaz, že dokážeme nájsť n po sebe idúcich prirodzených čísel, ktoré sú všetky zložené. Dôkaz nie je náročný, stačí si v ňom uvedomiť jedinú vec:
Takouto skupinou je napríklad nasledujúca : (n+1)! +2, (n+1)! +3,  (n+1)! +4, (n+1)! +5, ... , (n+1)! + n, (n+1)! + n +1. Číslo (n+1)! +2 je deliteľné dvomi, číslo (n+1)! + 3 deliteľné tromi a tak ďalej. K tomuto jednoduchému dôkazu by som chcel poznamenať nasledujúce: Dôkazom sme nepovedali, že je čísel práve n. Môže ich byť n+3 alebo viac. Napríklad pre n=1000 je aj číslo 1001! + 1002 zložené číslo.
 
Tretí dôkaz uvediem kvôli jeho častému využitiu v iných  úlohách. Ukážeme, že každé prvočíslo väčšie ako 3 sa dá zapísať v tvare 6k±1 pričom k je prirodzené číslo. V tomto dôkaze len jednoducho rozoberieme ostatné prípady(6k,6k+2,6k+3,6k+4) a ukážeme ich deliteľnosť dvojkou alebo trojkou. Prvé z uvedených – 6k – je deliteľné číslom 2. 6k+2 tiež, pretože sa dá zapísať ako 2(3k+1). To isté platí aj pre 6k+4, ktoré môžeme zapísať ako 2(3k+2). 6k+3 je na rozdiel od ostatných deliteľné číslom 3: 3(2k+1). Teda sme ukázali, že prvočíslo môže byť len v tvare 6k+1 alebo 6k-1=(6k+5).
 
Nasledujúce tvrdenia sú dokázané, avšak ich dôkaz je zložitejší, teda ho tu neuvedieme.
1. Prvočísla v tvare 2 k +1 (Fermatove prvočíslo) musia mať exponent v tvare k= 2 n.
2. Prvočísla v tvare 2 k –1 (Mersennove prvočíslo) musia mať exponent tiež prvočíslo.
3. Ak je Mn Mersennovým prvočíslom, tak 2n-1 . Mn je dokonalé.
4. an+bn=cn pre n>2 nemá netriviálne celočíselné riešenie (Veľká Fermatova veta).
  Existuje mnoho hypotéz, ktoré ešte dokázané nie sú ako napríklad lineárna hypotéza
o Mersennových prvočíslach.  Na týchto hypotézach pracuje mnoho matematikov a je možné, že sa čoskoro objaví ich dôkaz. Zatiaľ sa však tieto tvrdenia nepodarilo nikomu dokázať.
 
 
4. Špeciálne typy prvočísel
  Prvočísla sa dajú deliť podľa viacerých kritérií. V tejto kapitole sa budeme zaoberať len dvoma typmi prvočísel – Mersennovými prvočíslami a prvočíselnými dvojčatami. Avšak existujú Fermatové prvočísla a aj mnoho iných, ktorými sa tu nebudeme zaoberať.
 
4.1 Mersennové prvočísla
Mersennovo prvočíslo je v tvare 2 n -1. Doteraz poznáme 39 takýchto prvočísel, pričom 40. je známe od 17.11.2003, no nie je ešte úplne overené. Zoznam týchto prvočísel môžeme nájsť v prílohe. Prečo takéto prvočísla nazývame Mersennovými? Prvočísla tohto tvaru boli pre ľudí zaujímavé už pred tým ako sa o nich začalo hovoriť ako o Mersennových. Francúzsky matematik Mersenne vyslovil totiž hypotézu, že pre n menšie ako 258 sú čísla v tvare 2 n - 1 prvočíslami práve pre tieto n: 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Táto hypotéza bola na dobu v ktorej žil (17.storočie) chvályhodná. Preto na jeho počesť pomenovali prvočísla tohto tvaru Mersennovými.
Keďže hypotéza nebola dokázaná, mnoho matematikov sa jej venovalo. Postupne odstránili všetky chyby. Dokopy ich spravil Mersenne päť – tri prvočísla vynechal a dve zložené čísla zarátal. Vynechal n= 61, 89, 107 a naopak naviac zarátal n=67 a 257. Aj napriek týmto chybám bol jeho objav dosť ohromujúci – veď 261 -1 má 19 cifier.
Roku 1998 bolo nájdených 37 Mersennových prvočísel. Na základe ich rozboru bola vytvorená hypotéza o ich rozložení a boli expeimentálne určené parametre lineárnej funkcie, ktorá určuje závislosť exponentu n od poradia prvočísla v tabuľke. Podľa tejto hypotézy malo mať 38. provčíslo exponent blízky číslu 4699385. O rok na to bolo nájdené prvočíslo, ktoré malo exponent 6972593. To sa však zhodovalo skôr s odhadom na 39. Mersennovo prvočíslo, ktoré malo mať exponent okolo 6935171. V kapitole O hľadaní prvočísel si popíšeme spôsob, ako sa tieto čísla nachádzali. Odborníci si mysleli, že 38. prvočíslo prehliadli. Avšak doteraz nebolo nájdené. Toto prvočíslo do novembra 2003 ostalo najväčším známim prvočíslom. Je tiež prvým megaprvočíslom – prvočíslom s počtom cifier väčším ako milión. Toto číslo by dokázalo zaplniť 500 stranovú knihu. Najnovšie Mersennovo prvočíslo má 4,5 milióna cifier. Prečo tieto čísla ľudia hľadajú? Dôvodom mnohých “čistých” matematikov je radosť z pomoci matematickej komunite. Pre ostatných je viac lákavá ponuka 100000 USD za nájdenie nového Mersennovho prvočísla.
 
4.2 Prvočíselné dvojčatá
Prvočíselnými dvojčatami nazývame dve prvočísla p, q , pre ktoré platí: p= q - 2. Najmenšími prvočíselnými dvojčatami sú prvočísla 3 a 5. Mohli by sme si myslieť, že takéto čísla nie sú ničím zaujímavé. Opak je však pravdou. Prvočíselné dvojčatá sa vyskytujú aj medzi veľkými prvočíslami. Výhodou týchto čísel je, že faktorizáciu ich súčinu spravíme veľmi ťažko(samozrejme ak sú dostatočne veľké). Kvôli čomu je to dobré? Asymetrické šifrovanie,
o ktorom si povieme viac v šiestej kapitole, využíva práve súčin dvoch prvočísel. Preto sú prvočíselné dvojčatá vhodné ako kľúče. Bohužiaľ na hľadanie prvočíselných dvojčiat sme nenašli žiaden špecifický algoritmus. Z podmienky že prvočíslo je v tvare 6k+1 alebo 6k-1 vyplýva nasledujúci fakt: ak sú dve prvočísla prvočíselné dvojčatá obe väčšie ako 3, tak ich aritmetický priemer je deliteľný číslom 6.

5. Hľadanie prvočísel
Prvočísla boli pre ľudí zaujímavé už za čias Pythagora. To vysvetľuje snahu zistiť ich rozloženie. Nikomu sa nepodarilo dokázať pravidlá pre nájdenie prvočísel, ale ani dokázať, že takéto pravidlo neexistuje. Tak ľudia začínali vymýšľať algoritmy, podmienky a podobné pomôcky na uľahčenie ich hľadania. Niektoré metódy si tu popíšeme.
 
5.1 Nutné podmienky
Pre prvočísla väčšie ako 2 platí, že sú nepárne. To umožnuje pri hľadaní uplatniť metódu, ktorá skúma len každé druhé číslo. Týmto sa dá značne urýchliť práca. Ďalšou dôležitou podmienkou je fakt, že ak je číslo zložené, existuje prvočíslo, ktoré toto číslo delí a zároveň je menšie ako odmocnina z daného čísla. Tým urýchlime metódu Brute Force o ktorej si povieme neskôr. Môžme tiež označiť za výhodnú podmienku hovoriacu o zvyšku po delení číslom 6. Potom nám stačí kontrolovať čísla v rozptyle 1 od čísla deliteľného šiestimi.
 
5.2 Brute Force
Metóda Brute Force alebo “hrubá sila” je založená na kontrolovaní každého čísla a overovaní. Overovanie v tejto metóde prebieha nasledujúco: program vypočíta odmocninu z daného čísla a zistí, či existuje číslo, ktoré je menšie ako odmocnina z tohto čísla a ktoré delí dané číslo. Tento algoritmus sa dá zvýhodniť tým, že budeme kontrolovať každé druhé číslo. Za normálnych okolností má daná metóda pamäťovú náročnosť lineárne závislú od odmocniny z daného čísla a časovú náročnosť kvadraticky závislú od odmocniny z daného čísla. Teoreticky ak by sme mali neobmedzené možnosti čo sa týka pamäti, Brute Force by mohla byť zaujímavá, ak by sme si každé prvočíslo zapisovali a kontorolovali nie každým číslom ale len prvočíslami. Časovú náročnosť tak znížime. Avšak vždy bude táto metóda neefektívna pre veľké čísla.
 
5.3 Erathostenovo sito
Algoritmus vymyslený matematikom Erathostenom je výhodná pre nie príliš veľké prvočísla. Je výhodnejšia ako Brute Force. Algoritmus je nasledovný. Vypíšeme si do tabuľky čísla od 1 po n. Číslo 1 vynecháme a číslo 2 zakrúžkujeme. Teraz vyškrtneme všetky čísla deliteľné číslom 2. Nasledujúce nevyškrtnuté číslo zakrúžkujeme(je to číslo 3) a vyškrtneme všetky čísla deliteľné týmto číslom. Pokračujeme, kým nie je každé číslo okrem 1 buď vyškrtnuté alebo zakrúžkované. Všetky zakrúžkované čísla sú prvočísla. Metóda je pracná, naprogramovať sa nám ju podarilo s pamaťovou náročnosťou lineárne závislou od n a časovou závislosťou kubicky závislou od n. Aj keď program využívajúci Erathostenovo sito je nevýhodnejší ako program s metódou Brute Force, pri písaní ručne je Erathostenovo sito kvalitnejšia metóda, pretože je pravdepodobnejšie, že zabudneme zistiť hrubou silou o danom čísle či je prvočíslo, ako to, že ho zabudneme vyškrtnúť respektíve zakrúžkovať pri Erathostenovom site.

5.4 Iné algoritmy
Medzi iné algoritmy, ktoré sú často využiteľnejšie, by sme mohli zaradiť variácie Brute Force. Ak hľadáme prvočísla len v určitom tvare, môžeme metódu skrátiť na kontrolovanie každého šiesteho čísla od čísla 5 respektíve 7. Ak by sme hľadali prvočíselné dvojčatá, stačilo by overovať čísla 6k+1 a ak by dané číslo bolo prvočíslom, overili by sme tvar 6k-1.  Funkčnosť algoritmov závisí vo veľkej miere na dostupnej technológii, programovacom jazyku a podobne. Pre prácu s veľkými prvočíslami sú nástroje komerčné, preto neuvádzame algoritmy schopné výhodne hľadať veľké prvočísla.
 
5.5 Hľadanie Mersennových prvočísel
Hľadanie Mersennových prvočísel si zasluhuje venovanie pozornosti. Najväčšie prvočísla, ktoré poznáme sú práve Mersennové. Za týmto faktom stojí internetová organizácia GIMPS. Táto skratka znamená Great Internet Mersenne Primary Search. GIMPS pracuje po celom svete a jej členom sa môže stať ktokoľvek kto má počítač a prístup k internetu. Každý člen dostane úsek, ktorý má preskúmať a ten bude kontrolovať Lucas-Lehmerovým testom. Táto organizácia sa zaslúžila o nájdenie posledných šiestich Mersennových prvočísel. Organizácia je dobrovoľná a je skôr pre matematikov a informatikov ktorým nejde iba o zisk.
 
5.5.1  Lucas-Lehmerov Test
Tento test objavili a dokázali jeho funkčnosť dvaja matematici Lucas a Lehmer. Test je dôležitým kritériom či je dané číslo Mersennovým prvočíslom alebo ním nie je. Test publikovaný roku 1930 má nasledujúce znenie: S(n-1)= 0 (mod Mn) kde postupnosť S je určená nasledujúcim rekurentným vzťahom: S(1)=4 a S(k+1)=S(k)2-2.

6. Využitie prvočísel
Niektorí ľudia si myslia, že matematika je veda, ktorá nie je prakticky využiteľná, no mýlia sa. Matematika sa využíva v každodennom živote aj keď si to niektorí z nás ani neuvedomujú. Prvočísla nie sú výnimkou. Zaručujú bezpečnosť niektorých systémov, asymetrické šifrovanie používané systémom Unix nazvané MD5 zaručuje zložitejšie odhalenie bezpečnosti pri zlej správe systému, elektronický podpis pomocou šifrovania RSA zaručuje správnu funkčnosť platobných kariet v bankách. Tým sa však objavuje aj temnejšia stránka veci – tú popíšeme v podkapitole “ľahký” zárobok.
 
6.1 Kryptografia
Kryptografia alebo tiež šifrovanie je oblasť, ktorá je zaujímavá pre ľudí, ktorí cítia potrebu chrániť svoje informácie nielen tým, že sa budú spoliehať na čestnosť ľudí. Šifrovanie existuje symetrické a asymetrické.

Symetrické
šifrovanie má význam pri kódovaní správ. Existuju jednoduché šifry založené na posúvaní písmen v abecede, tieto však nie sú príliš bezpečné a tiež nemajú nič s prvočíslami, tak ich tu nebudeme rozoberať. Funguje nasledovne: máme správu, podľa istého kľúča ju zakódujeme. Podľa rovnakého kľúča správu odkódujeme. Nevýhoda je v tom, že ak tretia strana zistí kľúč, správa je ľahko rozlúštiteľná.

Asymetrické  šifrovanie má výhodu – druhá strana dokáže povedať čo je za šifrou, ale nedokáže správu odšifrovať. Táto metóda sa využíva napríklad v bankách na elektronický podpis. Zadáme náš osobný kľúč do bankomatu, systém nás identifikuje a dostaneme prístup ku svojim financiám. Avšak nikto iný, kto vie výsledok šifry ale nevie náš kľúč nemôže zašifrovať správu tak, aby si systém myslel, že sme to my. Nemôže je silné slovo, ale tu sa hodí. Je to veľmi náročný problém rozšifrovať asymetrické kódovanie založené na prvočíslach. Existuje súkromný a verejný kľúč. Verejný pozná každý, súkromný len my. Odhalenie šifry záleží v podstate od štastia. Problém nazývaný faktorizácia čísla(rozloženie na prvočísla) je náročný na objavenie. Samozrejme dnešná technika to umožňuje. Ľudia ktorí nabúravajú systém rozkladajú číslo na dané prvočísla – tým zistia aj súkromný kľúč. Preto správcovia systému hľadajú daľšie väčšie prvočísla, aby bola faktorizácia ťažšia. V asymetrickom kódovaní majú prvočísla veľký význam.
 
6.2 “Ľahký” zárobok
Ako sme už povedali, sú ľudia, ktorí majú zlé úmysly. Čo sa týka financií je takýchto ľudí veľmi veľa. Každý by chcel mať peniaze, ktoré sú skryté v banke a patria niekomu inému. Títo sa väčšinou snažia odhaliť súkromný kľúč asymetrického kódovania. Je to náročný proces ale ľudom sa to darí. Bohužiaľ tu má vplyv aj ľudský faktor – najväčší hacker napadajúci systém nebol až taký dobrý pri odhaľovaní kódov – a predsa bol najlepší. Prečo? Ľudia mu heslá do systému povedali. On zo svojich zásahov nemal žiadne finančné výnosy, pretože to bol človek, ktorý to robil kvôli zábave. Ak by tento človek chcel získať peniaze z banky, mohlo byť ochudobnených mnoho ľudí. Iní hľadajú chyby v samotnom systéme a v kľúčoch. Je to síce náročnejšie ale mnohým sa podarí ich cieľ a tak si ľahko zarobia. 
 
7. Záver
Práca nám priniesla základné informácie o problematike prvočísel, mierne poznatky o kryptografii. Dozvedeli sme sa mnoho zaujímavých faktov, ukázali sme si základné metódy hľadania prvočísel. O danej téme sa dá napísať viac, cieľom však bolo ukázať základy problému a ukázať postupný vývin. Práca nám priniesla nové myšlienky pri dokazovaní istých teórii. Objasnili sme si tiež význam bezpečnosti systémov a vplyv človeka na túto bezpečnosť.
Oboduj prácu: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (10-najlepšie, priemer: 7.3)

:: Prihlásenie



Založiť nové konto Pridať nový referát

Odporúčame

Prírodné vedy » Matematika

:: KATEGÓRIE - Referáty, ťaháky, maturita:

0.014