Fibanacciho postupnosť a Zlatý rez

Prírodné vedy » Matematika

Autor: Dievča milena (24)
Typ práce: Referát
Dátum: 30.03.2014
Jazyk: Slovenčina
Rozsah: 2 168 slov
Počet zobrazení: 3 395
Tlačení: 335
Uložení: 340
Fibanacciho postupnosť a Zlatý rez
 
Úvod
O Fibonacciho postupnosti a Zlatom reze som sa dozvedel na základe románu Da Vinciho kód od autora Dana Browna. Da Vinciho kód je román, v ktorom sa vysvetľujú rôzne historické udalosti a javy, takisto Fibonacciho postupnosť a zlatý rez. Zaujalo ma v knižke tvrdenie, že príroda sa riadi podľa nejakých čísel. Fibonacciho postupnosť - postupnosť, pri ktorej dve predchádzajúce čísla tvoria tretie - a zlatý rez spolu matematicky súvisia a sú to čísla, ktoré možno náhodou ale tvoria veľkú časť prírody. Tieto čísla smôžme nájsť v prírode, objavujú sa v umeleckých dielach, v architektúre ale aj pri hudobných skladbách. V ďalších kapitolách budem skúmať či je to naozaj tak na základe mojich výskumov a teoretických podkladov z iných zdrojov. Mojim skúmaním by som chcel dokázať, že výskyt týchto čísel nie je náhoda, ale prírodný jav, podľa ktorého je usporiadaná príroda. Názory na usporiadanie prírody bol vačšinou, že je to chaos alebo náhoda. Týmto by som chcel dokázať, že neexistuje žiadna náhoda, ale že vesmír a hlavne naša planéta je prepracovaná do posledného detajlu a neexistuje nič ako náhoda alebo chaos.

1. Leonardo Fibonacci (1170 -1230)
Narodil sa v rodine Leonarda Bonacciho- obchodníka v Pise (príloha č. 2) - ako Leonardo Pisanský. Sám seba nazýval Biggolo-mohlo to znamenať buď naničhodný alebo cestovateľ. Aj keď sa narodil v Taliansku, školy navštevoval v severnej Afrike, kde jeho otec zastával diplomatický post, reprezentoval veľkoobchodníkov z Pisi, ktorý obchodovali s Bugiou (dnešná Bejaia). Bejaia je stredozemný prístav v severovýchodnom Alžírsku. V tomto meste sa Fibonacci naučil matematiku. Počas cestovania s otcom po Stredomorí zbieral matematické znalosti ako spôsoby zápisu čísel, či rôznych matematických trikov. Precestoval mnohé krajiny - Grécko, Egypt, Sýriu, Sicíliu a južné Francúzsko. Okolo roku 1200 prestal cestovať a vrátil sa do Pisi, kde napísal niekoľko dôležitých textov, ktoré oživili staroveké matematické zručnosti, na ktorých mal tiež významný podiel. Vzhľadom na to, že žil v dobe pred vynájdením kníhtlače, všetky jeho knihy boli ručne písané a jediný spôsob ako rozmnožiť tieto knihy bol- prepísať ich. Napriek tomu sa nám zachovali kópie niektorých jeho diel - Liber Abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225) a Liber quadratorum(1226). V knihu Liber Abaci vysvetlil dodnes používanú desiatkovú sústavu = arabskú, Fibonacciho čísla, rozsiahly súbor poznatkov a z aritmetiky a základy algebry.

Od roku 1228 existuje jediný dokument, v ktorom sa o ňom píše. Dekrét napísaný Republikou v Pise v roku 1240, v ktorom je ocenený jeho prínos pre mesto a pomoc pri účtovníctve a vzdelávaní obyvateľov. píše sa v ňom:
...veľký a vzdelaný Majster Leonardo Bigollo...
Leonardo Fibonacci patril k nemnohým matematikom v tisícročí 300 - 1300. Jeho postupnosť sa v tej dobe brala len ako zábavka na precvičovanie mysle, a až v 19. storočí si ju všimol Edouard Lucas - francúzsky matematik. Túto postupnosť nazval jeho menom. Odvtedy sa začali aj iný matematici zaujímať o túto postupnosť.

2. Fibonacciho postupnosť
 
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
 
Táto postupnosť je založená na systéme, že predchádzajúce dva čísla tvoria tretie.
 
0 + 1 = 1
  1 + 1 = 2
   1 + 2 = 3
  2 + 3 = 5
   3 + 5 = 8  atď.
Je to nekonečná postupnosť. možme ju vyjadriť aj vzorcom:
an + an+1 = an+2
 
Fibonacciho postupnosť vznikla na základe príkladu o rozmnožovaní králikov. Rozmnožovanie u králikov prebieha nasledovným sspôsobom:
Na začiatku máme jeden pár, ktorý sa môže začať rozmnožovať až v druhom mesiaci (teda jeden mesiac trvá, kým králiky dospejú a môžu sa začať rozmnožovať ďalej). Tento pár vrhne nový pár, ktorý opäť môže vrhnúť ďalší pár až v druhom mesiaci. Zatiaľ však prvý pár vrhne tretí pár, ktorý tiež musí mesiac čakať atď. (príloha č. 3)
 
Fibonacciho postupnosť môžme nájst ešte pri kvetochoch, usporiadaní listov na stonke, pri včelách ....
Pri včelách je systém nasledovný:
Včely (kráľovny a robotnice) sa rodia iba z oplodnených vajíčok, zatiaľ čo trúdy sa rodia z neoplodnených vajíčok.  (príloha č. 4)
Pri kvetoch je počet korunných lupienkov vo väčšine prípadov číslo z Fibonacciho postupnosti. napríklad:  ľalia - 3, fialka - 5, iskerník - 8, chryzantémovka - 13, astra - 21, sedmokráska - 34, 55, 84
Listy na stonkách, pokiaľ vyrastajú jednotlivo, sú na vetvičkách rozložené zak, že každý list vyrastá nad predchádzajúcim listom viac či menej posunutý o určitý uhol. Tento uhol, ktorý je pre každú rastlinu charakteristický, vyjadrujú botanici v tvare zlomku, ktorý udáva, akú časť obvodu kružnice vytína. (príloha č. 5)
Pri lipe je to uhol 1/2, pri buku 1/3, pri višni 2/5, pri topoli 3/8, pri vrbe 5/13

všetky čísla v čitateli a v menovateli tvoria Fibonacciho postupnosť.
Zlatý rez a Fibonacciho postupnosť sa takto prejavujú aj v rastlinách. Veda, ktorá skúma rozostavenie listov na stonke, sa nazýva fylotaxia. V dolnej časti stonky sú listy staršie a vetšie, pri vrchole mladšie a menšie. Všetky listy jsou rovnomerne osvetlované, menšie netienia väčším, ktoré okrem toho majú ešte aj dlhšie vrúbkovanie.
Zákonitosťou rozostavenia listov sa zaoberali v 30.- 40. rokoch minulého storočia, francúzski bádatelia bratia Louis a Antoine Bravais, a nemeckí morfológovia Karl Schimper a Alexander Braun. Títo botanici vybudovali celú náuku o postavení listov, ktorá k výkladom používa matematické poučky. (príloha č. 6)
Ďalším prejavom fylotaxie je teda usporiadanie slnečnice alebo smrekovej šišky, v ktorých sú šupiny rozmiestené ako špirála alebo točité schody. Toto rozmiestenie je veľmi dobre vidieť pri ananáse, majúceho viac či menej šesťuholníkové bunky na povrchu, ktoré tvoria rady idúce rôznymi smermi. Každá bunka je členom troch radov (má tri páry protiľahlých strán). Povrch ananásu môžeme zkúmať podobne ako šupiny smrekovej šišky.
Tieto teorie však riešia problém fylotaxie príliš jednostranne. Sú to špekulácie, ktoré môžu byť potvrdené iba starostlivým pozorovaním. (príloha č. 7, 8)
 
3. Zlatý rez
3.1 História Zlatého rezu
1,61803398874989484820458683...
Číslo 1,618 respektívne f (phi) bolo odvodené z Fibonacciho postupnosti. Pomery členov Fibonacciho postupnosti predstavujú zlatý rez. Čím vyššie čísla, tým viac sa pomery blížia zlatému rezu.
8 : 5 = 1.6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,615
...
Úsečka je rozdelená zlatým rezom ak dĺžka celej úsečky a jej väčšieho dielu sú v takom istom - zlatom- pomere ako pomer dĺžok väčšieho a menšieho dielu. Akúkoľvek úsečku AB možno rozdeliť bodom C na dve úsečky AC a BC tak, aby pomer dĺžky pôvodnej úsečky k väčšiemu dielu bol ako pomer väčšieho dielu k menšiemu.
 
Zlatý rez oznažuje symbol f (phi).
ak sa pomer dĺžok strán a, b rovná zlatému rezu, tak:


po rozšírení zlomku f dostaneme:
f2 - f -1 = 0
 
po vypočítaní tejto kvadratickej rovnice dostaneme jediný kladný koreň - číslo (1 + Ö5) : 2 , ktorého hodnota je približne 1,618 respektívne Zlatý rez.
Zostrojiť bod C, ktorý rozdeluje úsečku AB podľa Zlatého rezu sa dá pomocou Pytagorovej vety. Ak za dĺžku úsečky AB (l) dosadíme 1, tak dostaneme rovnicu: 
(x + 1/2)2 = 12 + (1/2)2
 
x + 1/2 = Ö(1 + 1/4)

3.2 Výskyt zlatého rezu
Označenie zlatý rez zaviedli grécky matematici v staroveku na počesť slávneho sochára Feidiasa. Zlatý rez je kozmickým zákonom, prejavujúcim sa aj v prírode napríklad v anatómii rastlín, v chémii v kryštalických štruktúrach a zložení zlúčenín, v astronómii, v polohách hviezd. Toto číslo možme nájsť v prírode všade. Číslo f sa považuje sa za najkrajšie číslo v prírode. Už staré národy sa zaujímali o toto číslo a považovali ho za základný kameň prírody. Nazdávali sa, že ho predurčil Tvorca vesmíru. Za najdokonalejší útvar považovali pentagram (príloha č. 9), lebo čiary v ňom sa rozdelia na jednotlivé úsečky podľa zlatého rezu. Mal prívlastky aj magický alebo božský, lebo je najdokonalejším výrazom zlatého rezu. Z tohtodôvodu bol odjakživa pokladaný za symbol krásy a dokonalosti a spájal sa s bohyňou Venušou a posvätným ženstvom. Ďalšie dôkaz, že zlatý rez poznali už v starovekom Grécku je chrám Panteón na Akropole v meste Atény (príloha č. 10). Renesanční umelci -architekti, maliari, sochári- vychádzali z názoru, že vo všetkých týchto umeniach zaručia jednotu obsahu a formy diela okrem iného tým, že rozmery súčastí diela budú v zlatých pomeroch. Zlatý rez používali aj egypťania pri stavaní pyramíd a bol použitý aj pri stavaní budov OSN v New Yorku. Vo svojich dielach ho použili aj Michelangelo, Albrecht Dürer, Da Vinci a mnohí ďalší umelci, ktorí sa pri komponovaní svojich diel zámerne a prísne pridŕžali zlatého rezu. použili ho osobnosti ako Beethoven v Piatej symfónii, v Mozartových sonátach a i. Číslo Phi použil aj Stradivarius, keď chcel vypočítať, kam presne má na svojich husliach umiestniť otvor v tvare f.
 
3.3 Proporcie ľudského tela
Rovnako ako v umení, tak aj pri ľudských proporciách nájdeme číslo 1,618. Pomer dĺžok nad pásom a pod pásom tvoria zlatý rez. A tieto časti tela môžeme znova rozdeliť na dve časti v pomere 0,618 : 1. Hranicami sú ďalšie dve zúženia na ľudskom tele: krk a noha tesne pod kolenom (príloha č. 11).
Zlatý rez je však statická hodnota. Je to akýsi ideálny priemer a každý človek s ním nie je na milimeter totožný. A naviac platí pre akéhosi „obojpohlavného“ človeka, pretože je priemerom hodnôt nameraných u žien i u mužov. V skutočnosti je hodnota 0,618 u mužov trochu menšia a u žien väčšia. Dievčatá by mali mať dlhšie nohy a chlapci v pomere k svojej výške viac vyvinutú hornú hrudnú časť. Stupeň krásy určitej postavy je v tom, ako sa jej proporcie priblížili k priemerným, resp. normálnym proporciám. Individuí s priemernými proporciami je však pomerne málo a u väčšiny ľudí kolísajú okolo tohoto priemeru. Priemerné proporcie sú teda základom, od ktorého umelec musí vychádzať. Pokiaľ si konštruuje alebo používa kánon (vzorové rozmery), musí si uvedomiť, že ide len o jednoduché pravidlo, resp. pomôcku, že vyjadruje hodnoty iba blízke priemeru, a že i dobrý kánon sa nehodí na všetky prípady, zvlášť extrémne.

V historickom slede bolo konštruované veľké množstvo kánonov, z ktorých niektoré doposiaľ používajú mnohé umelecké školy. Uvedieme tu tie, ktoré nejakým zpôsobom súvisia so zlatým rezom. Ondrejov kríž je kánonom rímského staviteľa Vitruvia. Podľa neho sa dĺžka rozpätých horných končatín rovná výške tela a možno teda ľudské telo zakresliť do štvorca. Okolo tejto figúry opísal kružnicu, ktorej stred je v pupku, ktorý sa tým stal prirozeným stredom, nie však poliacim bodom tela. Túto tzv. Vitruviovu figúru (príloha č. 12) používal v renesancii Leonardo da Vinci a Albrecht Dürer.

Leonardo da Vinci si tento kánon upravil. Na obrázku proporčnej štúdie Ondrejovho kríža majú obdĺžníky strany v pomere zlatého rezu. V rovnakom pomere sú umiestené na ľudskej ruke kotníky a zápästný kĺb.
Adolf Zeissing prehlásil pravidlo zlatého rezu za zákon proporcionality. Podľa neho je vzdialenosť od temena k pupku ku vzdialenosti pupku od podložky ve rovnakom pomere ako táto vzdialenosť k výške tela. Zlatý rez platí podľa neho pre všetky časti tela (aj pre končatiny), preto dĺžka predlaktia s rukou je k dĺžke paže v tom istom pomere ako dĺžka celej hornej končatiny k predlaktiu s rukou. Jeho kánon je málo používaný. Francúzsky architekt Le Corbusier (1887-1965) v známej štúdii "Modulor" sformuloval nový proporčný systém, ktorý sae opiera o miery človeka a princíp zlatého rezu, ktorý podľa neho dáva do súladu každú vec s celkom. Modulor je systém proporcií založených na pomeroch výšky stojaceho človeka a človeka so vzpaženou rukou. Každý úsek prvej série rozmerov je polovicou série druhej. Obe nakreslené do jedného obrázku dávajú rozdelenie, kde okrem delenia v zlatom pomere nastává aj polenie (príloha č. 13).
Modulor dal harmonickú zákonitosť geometrie obrovským kvádrom z betonu, železa a skla, stal sa základom modernej architektúry.

3.5 Zlatý rez v prírode
So zlatým rezom sa tiež môžeme stretnúť pri biológii, napríklad keby sme videlili počet ktorýchkoľvek včiel na svete počtom ktorýchkoľvek trúdov na svete dostali by sme vždy číslo f. Morpho peleides - motýľ veľkosti dlaní človeka sa zdržiava najčastejšie v korunách stromov dažďového pralesa, kde vyniká jasnomodrá farba jeho krídel. Spodná strana jeho krídel je hnedastá, čo mu umožňuje prefektné maskovanie. Pri pozorovaní stavby tela tohoto motýľa možno pozorovať harmóniu a v pomere zadných krídel ku predným je markantný zlatý rez.
 
3.4.1 Logaritmická špirála
Logaritmická špirála (príloha č. 14) krivka, ktorú krátko predtým ako ju objavil francúzsky filozof a matematik René Descartes, neobyčajne fascinovala Jakuba Bernoulliho (1654-1705). Bernoulli ju označil za spira mirabilis - neobyčajná, obdivuhodná špirála. Nemení tvar, rastie rovnako do dĺžky i do šírky. Tak rastú živočíchy a rastliny. Je to jediná krivka, ktorá rastie tak, že zachováva tvar a pomer častí. Asymetrická krivka vyjadruje symetrický rast. Schránkaté hlavonožce, ktoré sa kedysi plavili v moriach, už vymreli. Žije len jeden rod - Nautilus. Živý prototyp ponorky. Schránka Nautila je ukážkovou ilustráciou logaritmickej špirály. Najlepšie sa o tom presvědčíme na priereze ulity. Prepážky, ktoré ju rozdelujú na komôrky, svedčia o tom, ako Nautilus rástol.

Hmyz sa k svetlu blíži po logaritmickej špirále. Vysvetlenie je jednoduché. Pohybuje sa tak, aby svetlo videl stále pod rovnakým uhlom. Takže špirála naopak. Okrem toho nájdeme logaritmickú špirálu v umiestení jadier v plode slnečnice, na úponku vinnej révy, u mučenky, na kruhovom schodišti alebo u špirálových galaxií. Pri tejto logaritmickej špirále je veľmi častý výskyt čísla phi ako pomer špirál. Vyskytuje sa u Nautila, slnečnie...
Oboduj prácu: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (10-najlepšie, priemer: 5.5)

:: Prihlásenie



Založiť nové konto Pridať nový referát

Odporúčame

Prírodné vedy » Matematika

:: KATEGÓRIE - Referáty, ťaháky, maturita:

0.019