3. Rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici

Rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici

Rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici je zvláštny druh krivočiareho pohybu, pri ktorom sa hmotný bod pohybuje po trajektórii v tvare kružnice. Hoci sa veľkosť jeho rýchlosti nemení, neustále sa mení smer rýchlosti, a preto ide o pohyb so zrýchlením.

Pohyb po kružnici

Pohyb po kružnici je krivočiary pohyb, ktorého trajektóriou je kružnica.

Pri pohybe po kružnici sa hmotný bod nachádza stále v rovnakej vzdialenosti od stredu kružnice. Táto vzdialenosť sa nazýva polomer kružnice r.

Rovnomerný pohyb po kružnici vykonáva hmotný bod vtedy, ak za rovnaké časové intervaly prejde rovnako dlhé kružnicové oblúky. Týmto oblúkom zároveň prislúchajú rovnako veľké stredové uhly.

• trajektóriou pohybu je kružnica,
• veľkosť okamžitej rýchlosti je konštantná,
• smer okamžitej rýchlosti sa neustále mení,
• pohyb sa pravidelne opakuje, preto je periodický.

Dráha pri pohybe po kružnici

Dráhou hmotného bodu pri pohybe po kružnici je dĺžka kružnicového oblúka, ktorý hmotný bod počas pohybu opíše.

Dráhu označujeme:

s – dráha, jednotka meter (m)

Ak hmotný bod vykoná jeden celý obeh po kružnici, prejde dráhu rovnajúcu sa obvodu kružnice:

s = 2πr

kde:

• s – dráha,
• r – polomer kružnice,
• π ≈ 3,14.

Uhlová dráha

Každému kružnicovému oblúku prislúcha určitý stredový uhol. Jeho veľkosť závisí od dĺžky kružnicového oblúka a od polomeru kružnice.

Uhlovú dráhu označujeme gréckym písmenom φ (fí).

Platí:

φ = s / r

kde:

• φ – uhlová dráha,
• s – dĺžka kružnicového oblúka,
• r – polomer kružnice.

Jednotkou uhlovej dráhy je radián:

[φ] = rad

Čo je jeden radián?

1 radián je veľkosť stredového uhla, ktorému prislúcha kružnicový oblúk s rovnakou dĺžkou, akú má polomer kružnice.

Ak teda platí:

s = r,

potom:

φ = 1 rad.

Pri jednom celom obehu hmotného bodu po kružnici je uhlová dráha:

φ = 2π rad

čo zodpovedá uhlu:

360° = 2π rad

Okamžitá rýchlosť pri pohybe po kružnici

Okamžitá rýchlosť vyjadruje, ako rýchlo sa mení dráha hmotného bodu za určitý čas.

Platí:

v = Δs / Δt

kde:

• v – okamžitá rýchlosť,
• Δs – zmena dráhy,
• Δt – časový interval.

Jednotkou rýchlosti je:

[v] = m/s

Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa veľkosť rýchlosti nemení. Mení sa však jej smer.

Vektor okamžitej rýchlosti má v každom bode smer dotyčnice ku kružnici. Preto je okamžitá rýchlosť v každom bode kolmá na polomer kružnice vedený do daného bodu.

v ⟂ r

Uhlová rýchlosť

Uhlová rýchlosť vyjadruje, ako rýchlo sa mení uhlová dráha, teda stredový uhol, za určitý čas.

Uhlovú rýchlosť označujeme gréckym písmenom ω (omega).

Platí:

ω = Δφ / Δt

kde:

• ω – uhlová rýchlosť,
• Δφ – zmena uhlovej dráhy,
• Δt – časový interval.

Jednotkou uhlovej rýchlosti je:

[ω] = rad/s

Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa uhlová rýchlosť nemení.

Smer uhlovej rýchlosti

Smer vektora uhlovej rýchlosti určíme pomocou pravidla pravej ruky. Ak prsty pravej ruky ohneme v smere otáčania telesa, vystretý palec ukazuje smer vektora uhlovej rýchlosti.

Vektor uhlovej rýchlosti smeruje pozdĺž osi otáčania a je kolmý na rovinu kružnice.

Perióda

Rovnomerný pohyb po kružnici je periodický pohyb, pretože sa po určitom čase pravidelne opakuje.

Perióda T je čas, za ktorý hmotný bod vykoná jeden celý obeh po kružnici.

Jednotkou periódy je sekunda:

[T] = s

Napríklad ak teleso vykoná jeden obeh za 4 sekundy, jeho perióda je:

T = 4 s

Frekvencia

Frekvencia f udáva počet obehov, ktoré hmotný bod vykoná za jednotku času.

Jednotkou frekvencie je:

[f] = s⁻¹ = Hz

Jednotka hertz (Hz) znamená jeden obeh alebo jeden dej za sekundu.

Medzi periódou a frekvenciou platí vzťah:

f = 1 / T

a opačne:

T = 1 / f

Čím je frekvencia väčšia, tým viac obehov teleso vykoná za sekundu a tým je jeho perióda kratšia.

Vzťah medzi rýchlosťou, periódou a frekvenciou

Počas jedného úplného obehu prejde hmotný bod dráhu rovnajúcu sa obvodu kružnice:

s = 2πr

Jeden obeh trvá čas T, preto môžeme rýchlosť vyjadriť:

v = 2πr / T

Keďže:

f = 1 / T,

platí aj:

v = 2πrf

Rýchlosť hmotného bodu teda závisí od polomeru kružnice a od frekvencie jeho pohybu.

Uhlová rýchlosť, perióda a frekvencia

Pri jednom celom obehu je uhlová dráha:

φ = 2π rad

Pre uhlovú rýchlosť preto platí:

ω = 2π / T

Keďže f = 1/T, môžeme písať:

ω = 2πf

Vzťah medzi okamžitou a uhlovou rýchlosťou

Medzi okamžitou rýchlosťou v a uhlovou rýchlosťou ω platí dôležitý vzťah:

v = ωr

To znamená, že pri rovnakej uhlovej rýchlosti má bod, ktorý je ďalej od stredu otáčania, väčšiu okamžitú rýchlosť.

Napríklad body na okraji otáčajúceho sa kolesa sa pohybujú väčšou rýchlosťou ako body nachádzajúce sa bližšie k jeho stredu.

Dostredivé zrýchlenie

Aj keď sa pri rovnomernom pohybe po kružnici veľkosť rýchlosti nemení, mení sa jej smer. Rýchlosť je vektorová veličina, takže zmena jej smeru znamená zmenu vektora rýchlosti.

Preto má teleso pri rovnomernom pohybe po kružnici zrýchlenie.

Toto zrýchlenie sa nazýva dostredivé zrýchlenie a označujeme ho:

a_d

Dostredivé zrýchlenie smeruje vždy do stredu kružnice.

Jeho smer je preto kolmý na smer okamžitej rýchlosti:

a_d ⟂ v

Vzorce pre dostredivé zrýchlenie

Pre veľkosť dostredivého zrýchlenia platí:

a_d = vω

Po dosadení vzťahu v = ωr dostaneme:

a_d = ω²r

Dostredivé zrýchlenie môžeme vyjadriť aj pomocou okamžitej rýchlosti:

a_d = v² / r

Pomocou frekvencie:

a_d = 4π²f²r

A pomocou periódy:

a_d = 4π²r / T²

Jednotkou zrýchlenia je:

[a_d] = m/s²

Prečo je rovnomerný pohyb po kružnici zrýchlený pohyb?

Na prvý pohľad sa môže zdať, že keď je pohyb rovnomerný, teleso nemá zrýchlenie. Pri pohybe po kružnici to však neplatí.

Priamočiary rovnomerný pohyb má konštantnú veľkosť aj smer rýchlosti. Pri rovnomernom pohybe po kružnici je konštantná iba veľkosť rýchlosti, ale jej smer sa neustále mení.

Preto sa mení vektor rýchlosti a teleso má dostredivé zrýchlenie.

Prehľad základných veličín

Veličina	Značka	Jednotka	Význam
dráha	s	m	dĺžka prejdeného kružnicového oblúka
polomer	r	m	vzdialenosť bodu od stredu kružnice
uhlová dráha	φ	rad	veľkosť opísaného stredového uhla
okamžitá rýchlosť	v	m/s	rýchlosť pohybu po kružnici
uhlová rýchlosť	ω	rad/s	zmena uhlovej dráhy za čas
perióda	T	s	čas jedného obehu
frekvencia	f	Hz	počet obehov za sekundu
dostredivé zrýchlenie	ad	m/s2	zrýchlenie smerujúce do stredu kružnice

Najdôležitejšie vzorce

• φ = s / r – uhlová dráha
• v = Δs / Δt – okamžitá rýchlosť
• ω = Δφ / Δt – uhlová rýchlosť
• f = 1 / T – frekvencia
• T = 1 / f – perióda
• v = 2πr / T – rýchlosť pomocou periódy
• v = 2πrf – rýchlosť pomocou frekvencie
• ω = 2π / T – uhlová rýchlosť pomocou periódy
• ω = 2πf – uhlová rýchlosť pomocou frekvencie
• v = ωr – vzťah medzi okamžitou a uhlovou rýchlosťou
• a_d = vω – dostredivé zrýchlenie
• a_d = v² / r – dostredivé zrýchlenie pomocou rýchlosti
• a_d = ω²r – dostredivé zrýchlenie pomocou uhlovej rýchlosti
• a_d = 4π²f²r – dostredivé zrýchlenie pomocou frekvencie
• a_d = 4π²r / T² – dostredivé zrýchlenie pomocou periódy

Zapamätajte si

• Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa veľkosť rýchlosti nemení, ale mení sa jej smer.
• Okamžitá rýchlosť smeruje vždy po dotyčnici ku kružnici.
• Okamžitá rýchlosť je vždy kolmá na polomer kružnice.
• Dostredivé zrýchlenie smeruje vždy do stredu kružnice.
• Rovnomerný pohyb po kružnici je periodický pohyb.
• Perióda udáva čas jedného obehu.
• Frekvencia udáva počet obehov za sekundu.
• Jeden celý obeh predstavuje uhlovú dráhu 2π rad = 360°.
• Medzi periódou a frekvenciou platí f = 1/T.
• Medzi okamžitou a uhlovou rýchlosťou platí v = ωr.