Rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici je zvláštny druh krivočiareho pohybu, pri ktorom sa hmotný bod pohybuje po trajektórii v tvare kružnice. Hoci sa veľkosť jeho rýchlosti nemení, neustále sa mení smer rýchlosti, a preto ide o pohyb so zrýchlením.
Pohyb po kružnici je krivočiary pohyb, ktorého trajektóriou je kružnica.
Pri pohybe po kružnici sa hmotný bod nachádza stále v rovnakej vzdialenosti od stredu kružnice. Táto vzdialenosť sa nazýva polomer kružnice r.
Rovnomerný pohyb po kružnici vykonáva hmotný bod vtedy, ak za rovnaké časové intervaly prejde rovnako dlhé kružnicové oblúky. Týmto oblúkom zároveň prislúchajú rovnako veľké stredové uhly.
Dráhou hmotného bodu pri pohybe po kružnici je dĺžka kružnicového oblúka, ktorý hmotný bod počas pohybu opíše.
Dráhu označujeme:
s – dráha, jednotka meter (m)
Ak hmotný bod vykoná jeden celý obeh po kružnici, prejde dráhu rovnajúcu sa obvodu kružnice:
s = 2πr
kde:
Každému kružnicovému oblúku prislúcha určitý stredový uhol. Jeho veľkosť závisí od dĺžky kružnicového oblúka a od polomeru kružnice.
Uhlovú dráhu označujeme gréckym písmenom φ (fí).
Platí:
φ = s / r
kde:
Jednotkou uhlovej dráhy je radián:
[φ] = rad
1 radián je veľkosť stredového uhla, ktorému prislúcha kružnicový oblúk s rovnakou dĺžkou, akú má polomer kružnice.
Ak teda platí:
s = r,
potom:
φ = 1 rad.
Pri jednom celom obehu hmotného bodu po kružnici je uhlová dráha:
φ = 2π rad
čo zodpovedá uhlu:
360° = 2π rad
Okamžitá rýchlosť vyjadruje, ako rýchlo sa mení dráha hmotného bodu za určitý čas.
Platí:
v = Δs / Δt
kde:
Jednotkou rýchlosti je:
[v] = m/s
Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa veľkosť rýchlosti nemení. Mení sa však jej smer.
Vektor okamžitej rýchlosti má v každom bode smer dotyčnice ku kružnici. Preto je okamžitá rýchlosť v každom bode kolmá na polomer kružnice vedený do daného bodu.
v ⟂ r
Uhlová rýchlosť vyjadruje, ako rýchlo sa mení uhlová dráha, teda stredový uhol, za určitý čas.
Uhlovú rýchlosť označujeme gréckym písmenom ω (omega).
Platí:
ω = Δφ / Δt
kde:
Jednotkou uhlovej rýchlosti je:
[ω] = rad/s
Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa uhlová rýchlosť nemení.
Smer vektora uhlovej rýchlosti určíme pomocou pravidla pravej ruky. Ak prsty pravej ruky ohneme v smere otáčania telesa, vystretý palec ukazuje smer vektora uhlovej rýchlosti.
Vektor uhlovej rýchlosti smeruje pozdĺž osi otáčania a je kolmý na rovinu kružnice.
Rovnomerný pohyb po kružnici je periodický pohyb, pretože sa po určitom čase pravidelne opakuje.
Perióda T je čas, za ktorý hmotný bod vykoná jeden celý obeh po kružnici.
Jednotkou periódy je sekunda:
[T] = s
Napríklad ak teleso vykoná jeden obeh za 4 sekundy, jeho perióda je:
T = 4 s
Frekvencia f udáva počet obehov, ktoré hmotný bod vykoná za jednotku času.
Jednotkou frekvencie je:
[f] = s−1 = Hz
Jednotka hertz (Hz) znamená jeden obeh alebo jeden dej za sekundu.
Medzi periódou a frekvenciou platí vzťah:
f = 1 / T
a opačne:
T = 1 / f
Čím je frekvencia väčšia, tým viac obehov teleso vykoná za sekundu a tým je jeho perióda kratšia.
Počas jedného úplného obehu prejde hmotný bod dráhu rovnajúcu sa obvodu kružnice:
s = 2πr
Jeden obeh trvá čas T, preto môžeme rýchlosť vyjadriť:
v = 2πr / T
Keďže:
f = 1 / T,
platí aj:
v = 2πrf
Rýchlosť hmotného bodu teda závisí od polomeru kružnice a od frekvencie jeho pohybu.
Pri jednom celom obehu je uhlová dráha:
φ = 2π rad
Pre uhlovú rýchlosť preto platí:
ω = 2π / T
Keďže f = 1/T, môžeme písať:
ω = 2πf
Medzi okamžitou rýchlosťou v a uhlovou rýchlosťou ω platí dôležitý vzťah:
v = ωr
To znamená, že pri rovnakej uhlovej rýchlosti má bod, ktorý je ďalej od stredu otáčania, väčšiu okamžitú rýchlosť.
Napríklad body na okraji otáčajúceho sa kolesa sa pohybujú väčšou rýchlosťou ako body nachádzajúce sa bližšie k jeho stredu.
Aj keď sa pri rovnomernom pohybe po kružnici veľkosť rýchlosti nemení, mení sa jej smer. Rýchlosť je vektorová veličina, takže zmena jej smeru znamená zmenu vektora rýchlosti.
Preto má teleso pri rovnomernom pohybe po kružnici zrýchlenie.
Toto zrýchlenie sa nazýva dostredivé zrýchlenie a označujeme ho:
ad
Dostredivé zrýchlenie smeruje vždy do stredu kružnice.
Jeho smer je preto kolmý na smer okamžitej rýchlosti:
ad ⟂ v
Pre veľkosť dostredivého zrýchlenia platí:
ad = vω
Po dosadení vzťahu v = ωr dostaneme:
ad = ω2r
Dostredivé zrýchlenie môžeme vyjadriť aj pomocou okamžitej rýchlosti:
ad = v2 / r
Pomocou frekvencie:
ad = 4π2f2r
A pomocou periódy:
ad = 4π2r / T2
Jednotkou zrýchlenia je:
[ad] = m/s2
Na prvý pohľad sa môže zdať, že keď je pohyb rovnomerný, teleso nemá zrýchlenie. Pri pohybe po kružnici to však neplatí.
Priamočiary rovnomerný pohyb má konštantnú veľkosť aj smer rýchlosti. Pri rovnomernom pohybe po kružnici je konštantná iba veľkosť rýchlosti, ale jej smer sa neustále mení.
Preto sa mení vektor rýchlosti a teleso má dostredivé zrýchlenie.
| Veličina | Značka | Jednotka | Význam |
|---|---|---|---|
| dráha | s | m | dĺžka prejdeného kružnicového oblúka |
| polomer | r | m | vzdialenosť bodu od stredu kružnice |
| uhlová dráha | φ | rad | veľkosť opísaného stredového uhla |
| okamžitá rýchlosť | v | m/s | rýchlosť pohybu po kružnici |
| uhlová rýchlosť | ω | rad/s | zmena uhlovej dráhy za čas |
| perióda | T | s | čas jedného obehu |
| frekvencia | f | Hz | počet obehov za sekundu |
| dostredivé zrýchlenie | ad | m/s2 | zrýchlenie smerujúce do stredu kružnice |