Fyzikální veličiny a jednotky

Fyzikálne veličiny a jednotky

Fyzika opisuje vlastnosti telies, látok a fyzikálnych javov pomocou veličín, ktoré dokážeme merať a navzájom porovnávať. Základom správneho riešenia fyzikálnych úloh je preto poznať fyzikálne veličiny, ich značky, jednotky a pravidlá prevodu. Podrobný materiál k téme nájdete aj v PDF fyzikálne veličiny a jednotky.

V nasledujúcich poznámkach si vysvetlíme sústavu jednotiek SI, základné a odvodené jednotky, násobné a dielčie jednotky, prevody jednotiek, rozmerové skúšky a rozdiel medzi skalárnymi a vektorovými veličinami.

Fyzikálna veličina

Fyzikálna veličina je vlastnosť telesa, látky, fyzikálneho poľa alebo fyzikálneho deja, ktorú môžeme merať alebo vypočítať.

Medzi fyzikálne veličiny patria napríklad:

• dĺžka,
• plocha,
• objem,
• hmotnosť,
• čas,
• rýchlosť,
• hustota,
• sila,
• energia,
• teplota.

Meranie znamená porovnávanie meranej veličiny so zvolenou jednotkou, ktorá slúži ako štandard.

Priame a nepriame meranie

Fyzikálnu veličinu môžeme určiť dvoma základnými spôsobmi:

• priamym meraním – hodnotu veličiny získame priamo pomocou meracieho prístroja, napríklad dĺžku stola odmeriame pravítkom alebo metrom,
• nepriamym meraním – zmeriame iné veličiny a z ich hodnôt pomocou fyzikálneho vzťahu vypočítame hľadanú veličinu.

Napríklad rýchlosť telesa môžeme určiť z nameranej dráhy a času:

v = s / t

Hodnota fyzikálnej veličiny

Hodnota fyzikálnej veličiny sa skladá z číselnej hodnoty a jednotky.

Napríklad:

W = 10 J

Číslo 10 predstavuje číselnú hodnotu a J je jednotka – joule.

Samotný zápis bez jednotky nie je úplný:

• W = 10 J – správny zápis,
• W = 10 – chýba jednotka,
• W = J – chýba číselná hodnota.

Ak fyzikálnu veličinu označíme všeobecne písmenom X, jej hodnotu môžeme zapísať:

X = {X} · [X]

• {X} – číselná hodnota veličiny,
• [X] – jednotka, respektíve rozmer veličiny.

Medzinárodná sústava jednotiek SI

Na jednotné zapisovanie fyzikálnych veličín sa používa medzinárodná sústava jednotiek SI. Vďaka nej sa rovnaké fyzikálne veličiny vyjadrujú rovnakými jednotkami bez ohľadu na krajinu alebo jazyk.

V sústave SI rozlišujeme najmä:

• základné jednotky,
• odvodené jednotky,
• násobné a dielčie jednotky.

Radián a steradián sa v staršom členení označovali ako doplnkové jednotky, dnes sa zaraďujú medzi odvodené jednotky.

Základné veličiny a základné jednotky SI

Sústava SI obsahuje sedem základných veličín a sedem základných jednotiek. Od nich možno odvodiť všetky ostatné fyzikálne jednotky.

Fyzikálna veličina	Základná jednotka	Značka jednotky
Dĺžka	meter	m
Hmotnosť	kilogram	kg
Čas	sekunda	s
Elektrický prúd	ampér	A
Termodynamická teplota	kelvin	K
Látkové množstvo	mol	mol
Svietivosť	kandela	cd

Pozor: základnou jednotkou hmotnosti je kilogram, nie gram. Základnou jednotkou času je sekunda a základnou jednotkou termodynamickej teploty je kelvin.

Odvodené fyzikálne jednotky

Odvodené jednotky vznikajú matematickými vzťahmi zo základných jednotiek SI. Môžu byť tvorené súčinom, podielom alebo mocninami základných jednotiek.

Rýchlosť

Rýchlosť je podiel dráhy a času:

v = s / t

Pre jednotku rýchlosti platí:

[v] = m / s = m · s⁻¹

Hybnosť

Hybnosť telesa je súčinom jeho hmotnosti a rýchlosti:

p = m · v

[p] = kg · m · s⁻¹

Sila

Zo vzťahu medzi zmenou hybnosti a časom získame jednotku sily:

[F] = kg · m · s⁻²

Táto odvodená jednotka má vlastný názov:

1 N = 1 kg · m · s⁻²

Najčastejšie odvodené jednotky

Veličina	Jednotka	Značka	Vyjadrenie pomocou základných jednotiek
Sila	newton	N	kg · m · s−2
Tlak	pascal	Pa	kg · m−1 · s−2
Práca, energia	joule	J	kg · m2 · s−2
Výkon	watt	W	kg · m2 · s−3

Medzi odvodenými jednotkami platia napríklad vzťahy:

• 1 Pa = 1 N · m⁻²,
• 1 J = 1 N · m,
• 1 W = 1 J · s⁻¹.

Radián a steradián

Radián

Radián (rad) je jednotka rovinného uhla. Veľkosť uhla v radiánoch môžeme určiť zo vzťahu:

φ = s / r

kde:

• s je dĺžka oblúka,
• r je polomer kružnice.

Keďže ide o podiel dvoch dĺžok, radián je formálne bezrozmerná jednotka:

[φ] = m / m = 1

Plný uhol má veľkosť:

2π rad = 360°

Preto platí:

• π rad = 180°,
• π/2 rad = 90°.

Steradián

Steradián (sr) je jednotka priestorového uhla.

Veľkosť priestorového uhla môžeme vyjadriť vzťahom:

Ω = S / R²

kde S je plocha vyťatá na povrchu gule a R je polomer gule.

Aj steradián je bezrozmerný:

[Ω] = m² / m² = 1

Plný priestorový uhol má veľkosť:

Ω = 4π sr

Násobné a dielčie jednotky

Násobné a dielčie jednotky vznikajú pridaním predpony pred názov alebo značku jednotky. Predpona vyjadruje určitú mocninu čísla 10.

Napríklad:

• 1 km = 10³ m = 1 000 m,
• 1 mm = 10⁻³ m = 0,001 m,
• 1 μm = 10⁻⁶ m.

Predpona	Značka	Mocnina 10
deka	da	101
hekto	h	102
kilo	k	103
mega	M	106
giga	G	109
tera	T	1012
peta	P	1015
exa	E	1018
zetta	Z	1021
yotta	Y	1024
deci	d	10−1
centi	c	10−2
mili	m	10−3
mikro	μ	10−6
nano	n	10−9
piko	p	10−12
femto	f	10−15
atto	a	10−18
zepto	z	10−21
yocto	y	10−24

Vedľajšie jednotky

Niektoré jednotky nepatria medzi základné jednotky sústavy SI, ale z praktických alebo historických dôvodov sa naďalej bežne používajú.

Patria sem napríklad:

• čas: minúta, hodina, deň, rok,
• uhol: stupeň, uhlová minúta, uhlová sekunda,
• objem: liter,
• teplota: stupeň Celzia,
• vzdialenosť vo vesmíre: astronomická jednotka, svetelný rok, parsek,
• energia: elektronvolt, kilowatthodina,
• angloamerické jednotky: palec, stopa, yard, libra a unca.

Svetelný rok nie je jednotkou času, ale jednotkou dĺžky. Vyjadruje vzdialenosť, ktorú svetlo prejde vo vákuu za jeden rok.

Prevody jednotiek

Pri prevodoch jednotiek je potrebné sledovať, o koľko rádov sa mení jednotka. Osobitnú pozornosť treba venovať jednotkám umocneným na druhú alebo tretiu.

Prevody dĺžky

1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm

1 km = 1 000 m

Prevody hmotnosti

1 kg = 1 000 g

Prevody obsahu

Pri plošných jednotkách sa prevodný pomer umocňuje na druhú:

1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm²

1 km² = 1 000 000 m²

Platí tiež:

• 1 km² = 100 ha,
• 1 ha = 100 a,
• 1 a = 100 m².

Prevody objemu

Pri objemových jednotkách sa prevodný pomer umocňuje na tretiu:

1 m³ = 1 000 dm³

1 dm³ = 1 000 cm³

1 cm³ = 1 000 mm³

Medzi litrami a kubickými jednotkami platí:

• 1 l = 1 dm³,
• 1 ml = 1 cm³,
• 1 hl = 100 l.

Prevod jednotiek rýchlosti

Veľmi často prevádzame rýchlosť medzi jednotkami m/s a km/h.

Základný vzťah je:

1 m/s = 3,6 km/h

Preto:

• z m/s na km/h násobíme číslom 3,6,
• z km/h na m/s delíme číslom 3,6.

Príklad:

10 m/s = 10 · 3,6 = 36 km/h

18 km/h = 18 / 3,6 = 5 m/s

Prevod jednotiek hustoty

Pre hustotu sa často používajú jednotky kg/m³ a g/cm³.

Platí:

1 g/cm³ = 1 000 kg/m³

Napríklad hustota zlata:

19,32 g/cm³ = 19 320 kg/m³

Všeobecný postup pri prevode jednotiek

Prevod jednoduchej jednotky

Predponu môžeme nahradiť príslušnou mocninou čísla 10.

Napríklad:

2 MN = 2 · 10⁶ N

Pri prevode zo základnej jednotky na jednotku s predponou postupujeme opačne.

Prevod umocnených jednotiek

Ak je jednotka umocnená, musíme umocniť aj prevodný faktor.

Napríklad:

7 mm² = 7 · (10⁻³ m)² = 7 · 10⁻⁶ m²

Preto nestačí pri prevode plochy posunúť desatinnú čiarku rovnako ako pri prevode dĺžky.

Prevod zložených jednotiek

Pri zložených jednotkách prevádzame každú časť samostatne.

Príklad:

3 N · m⁻² = ? mN · cm⁻²

Platí:

1 N = 10³ mN

1 m⁻² = 10⁻⁴ cm⁻²

Preto:

3 N · m⁻² = 3 · 10³ · 10⁻⁴ mN · cm⁻² = 0,3 mN · cm⁻²

Rozmerová skúška

Rozmerová skúška slúži na kontrolu správnosti fyzikálnych vzťahov. Ak sme určitú veličinu správne vyjadrili pomocou iných veličín, po dosadení ich jednotiek musíme dostať správnu jednotku výslednej veličiny.

Rozmerovú skúšku využívame najmä na:

• kontrolu výsledného fyzikálneho vzťahu,
• kontrolu riešenia zložitejších úloh,
• určenie jednotky neznámej veličiny,
• vyjadrenie odvodenej jednotky pomocou základných jednotiek SI,
• porovnávanie rôznych zápisov tej istej jednotky.

Príklad rozmerovej skúšky

Majme veličinu:

X = (Δp / Δt) · d

pričom:

• [Δp] = kg · m · s⁻¹,
• [Δt] = s,
• [d] = m.

Potom:

[X] = (kg · m · s⁻¹ / s) · m

[X] = kg · m² · s⁻²

Keďže:

1 J = 1 kg · m² · s⁻²,

výslednou jednotkou veličiny X je joule.

Rôzne zápisy tej istej jednotky

Niektoré veličiny možno vyjadriť viacerými navzájom ekvivalentnými jednotkami. Napríklad:

N · m⁻¹ = kg · s⁻²

Pretože:

N = kg · m · s⁻²

dostávame:

N · m⁻¹ = kg · m · s⁻² · m⁻¹ = kg · s⁻²

Skalárne a vektorové fyzikálne veličiny

Fyzikálne veličiny môžeme podľa spôsobu ich určenia rozdeliť na skalárne a vektorové.

Skalárne veličiny

Skalárna veličina je úplne určená číselnou hodnotou a jednotkou.

Medzi skalárne veličiny patria napríklad:

• hmotnosť,
• čas,
• dĺžka,
• objem,
• hustota,
• teplota,
• energia,
• práca,
• tlak.

Napríklad údaj m = 5 kg obsahuje všetko, čo potrebujeme vedieť o danej hmotnosti.

Vektorové veličiny

Vektorová veličina nie je určená iba veľkosťou a jednotkou. Potrebujeme poznať aj jej smer a orientáciu, prípadne miesto pôsobenia.

Medzi vektorové veličiny patria napríklad:

• sila,
• rýchlosť,
• zrýchlenie,
• hybnosť,
• posunutie,
• tiaž,
• intenzita elektrického poľa.

Skalárna veličina	Vektorová veličina
Má veľkosť a jednotku	Má veľkosť, jednotku, smer a orientáciu
Hmotnosť	Sila
Čas	Rýchlosť
Hustota	Zrýchlenie
Energia	Hybnosť
Teplota	Posunutie

Vektor

Vektor vo fyzike znázorňujeme orientovanou úsečkou – šípkou.

Vektor je charakterizovaný:

• veľkosťou,
• jednotkou,
• smerom,
• orientáciou,
• umiestnením alebo pôsobiskom.

Veľkosť vektora je skalárna veličina. Dva vektory môžu mať rovnaký smer, ale opačnú orientáciu.

Operácie s vektormi

Medzi základné operácie s vektormi patria:

• sčítanie vektorov,
• odčítanie vektorov,
• násobenie vektora skalárom,
• rozklad vektora,
• skalárny súčin,
• vektorový súčin.

Sčítanie vektorov

Pri sčítaní vektorov môžeme použiť rovnobežníkové pravidlo. Dva vektory doplníme na rovnobežník a ich výslednica je uhlopriečka vychádzajúca zo spoločného začiatku.

Ďalšou možnosťou je trojuholníkové pravidlo. Druhý vektor rovnobežne premiestnime tak, aby jeho začiatok ležal v koncovom bode prvého vektora. Výsledný vektor potom vedie od začiatku prvého vektora ku koncu druhého.

Nulový a opačný vektor

Nulový vektor je vektor s nulovou veľkosťou.

Opačný vektor má oproti pôvodnému vektoru:

• rovnakú veľkosť,
• rovnaký smer,
• opačnú orientáciu.

Opačný vektor si môžeme predstaviť ako pôvodný vektor otočený o 180°.

Odčítanie vektorov

Odčítanie vektora môžeme previesť na sčítanie s opačným vektorom:

u − v = u + (−v)

Najskôr teda vytvoríme vektor opačný k odčítavanému vektoru a následne oba vektory sčítame.

Násobenie vektora skalárom

Ak vektor násobíme kladným číslom k, výsledný vektor má rovnaký smer a orientáciu. Jeho veľkosť sa zmení k-násobne.

• ak k = 1, veľkosť sa nemení,
• ak 0 < k < 1, vektor sa skráti,
• ak k > 1, vektor sa predĺži.

Ak vektor násobíme záporným číslom, jeho orientácia sa obráti. Veľkosť výsledného vektora je |k|-násobkom pôvodnej veľkosti.

Rozklad vektora

Vektor môžeme vyjadriť ako súčet niekoľkých ďalších vektorov. Tento postup nazývame rozklad vektora.

Rozklad vektora v rovine

V rovine môžeme vektor rozložiť do dvoch navzájom nezávislých smerov. Najčastejšie používame rozklad do dvoch na seba kolmých smerov.

Pôvodný vektor potom tvorí uhlopriečku rovnobežníka a jeho jednotlivé zložky tvoria strany rovnobežníka.

Rozklad vektora v priestore

V priestore možno vektor rozložiť do troch nezávislých smerov. Pri kolmej súradnicovej sústave ide najčastejšie o smery osí x, y a z.

Skalárny súčin vektorov

Výsledkom skalárneho súčinu dvoch vektorov je skalár – číslo.

Pre dva vektory u a v, ktoré zvierajú uhol φ, platí:

u · v = |u| · |v| · cos φ

Skalárny súčin má význam v rovine aj v priestore.

Ak sú dva vektory na seba kolmé, potom:

cos 90° = 0

a preto:

u · v = 0

Nulový skalárny súčin nenulových vektorov je teda znakom ich kolmosti.

Vektorový súčin

Vektorový súčin dvoch vektorov má význam v priestore a jeho výsledkom je opäť vektor.

Zapisujeme:

u × v

Veľkosť výsledného vektora je:

|u × v| = |u| · |v| · sin φ

Výsledný vektor:

• je kolmý na oba pôvodné vektory,
• má veľkosť určenú súčinom veľkostí vektorov a sínusom uhla medzi nimi,
• má orientáciu určenú pravidlom pravej ruky.

Pri vektorovom súčine záleží na poradí:

u × v = −(v × u)

Ak sú dva vektory rovnobežné, uhol medzi nimi je 0° alebo 180°. V oboch prípadoch je sínus uhla nulový, a preto je ich vektorový súčin nulovým vektorom.

Najdôležitejšie poznatky na zapamätanie

• Fyzikálna veličina opisuje merateľnú vlastnosť telesa alebo fyzikálneho deja.
• Hodnota fyzikálnej veličiny sa skladá z číselnej hodnoty a jednotky.
• Sústava SI má sedem základných jednotiek: m, kg, s, A, K, mol a cd.
• Odvodené jednotky vznikajú zo základných jednotiek pomocou matematických vzťahov.
• Platí napríklad 1 N = 1 kg · m · s⁻², 1 J = 1 N · m a 1 Pa = 1 N · m⁻².
• Pri prevode plošných jednotiek sa prevodný faktor umocňuje na druhú a pri objemových jednotkách na tretiu.
• Platí 1 m/s = 3,6 km/h.
• Platí 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³.
• Rozmerová skúška umožňuje overiť správnosť fyzikálneho vzťahu.
• Skalár je určený veľkosťou a jednotkou.
• Vektor má okrem veľkosti a jednotky aj smer a orientáciu.
• Výsledkom skalárneho súčinu dvoch vektorov je skalár.
• Výsledkom vektorového súčinu dvoch vektorov je vektor kolmý na oba pôvodné vektory.