Geometria

Geometria – základy planimetrie

Čo je geometria?

Geometria (z gréc. „geo“ = zem, „metria“ = meranie) je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá tvarmi, veľkosťami a vzťahmi medzi objektmi v priestore. Jej korene siahajú až do starovekého Egypta a Grécka, kde ju rozvíjal napr. Táles z Milétu.

Geometria sa delí na:

• Planimetriu – štúdium útvarov v rovine
• Stereometriu – štúdium útvarov v priestore

Základné pojmy

• Bod – označujeme veľkými písmenami: A, B, C, …
• Priamka – označujeme malými písmenami: a, b, c,… alebo pomocou bodov (napr. AB)
• Rovina – označujeme gréckymi písmenami: α, β, γ,… alebo podľa troch bodov (napr. ABC)

Vzťahy medzi bodmi, priamkami a rovinami

• Bod leží na priamke: A ∈ a
• Priamka leží v rovine: a ⊂ α
• Bod neleží na priamke: B ∉ b
• Priamka nepatrí do roviny: q ⊄ σ
• Rovina prechádza bodom alebo priamkou

Základné axiómy incidencie

1. Cez dva rôzne body vedie práve jedna priamka.
2. Cez tri nekolineárne body vedie práve jedna rovina.
3. Ak dva body priamky ležia v rovine, celá priamka leží v rovine.
4. Dve rôzne roviny sa pretínajú aspoň v jednej priamke (ak majú spoločný bod).

Geometrické útvary v rovine

• Úsečka AB – časť priamky ohraničená dvomi bodmi A a B
• Polpriamka XY – časť priamky, ktorá má začiatok v bode X a pokračuje cez Y
• Polrovina – polovica roviny oddelená priamkou
• Uhol – časť roviny ohraničená dvomi polpriamkami so spoločným začiatkom (vrcholom)

Množiny bodov danej vlastnosti

Definícia:
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré spĺňajú určitú vlastnosť, sa nazýva množina bodov danej vlastnosti (MBDV).

Príklady:

• Kružnica k(S, r) – všetky body, ktoré majú od bodu S vzdialenosť r
• Kruh K(S, r) – všetky body so vzdialenosťou menšou alebo rovnou r
• Os úsečky AB – všetky body X, pre ktoré platí: |AX| = |BX|
• Os uhla AVB – všetky body X, ktoré sú rovnako vzdialené od ramien uhla

Špeciálne množiny

• Talesova kružnica – množina bodov, z ktorých vidíme úsečku AB pod pravým uhlom
• Ekvidištanta priamky p – dvojica priamok vo vzdialenosti d od p
• Ekvidištanta kružnice – sústredné kružnice s polomermi r ± d

Stredové a obvodové uhly

• Stredový uhol – jeho vrchol je v strede kružnice, ramená prechádzajú krajnými bodmi oblúka
• Obvodový uhol – jeho vrchol leží na kružnici, ramená prechádzajú krajnými bodmi oblúka

Tvrdenie:

Stredový uhol je dvojnásobkom príslušného obvodového uhla.
β = 2α

Dôsledky

• Obvodové uhly k rovnakému oblúku sú zhodné
• Obvodový uhol k menšiemu oblúku je ostrý
• Obvodový uhol k väčšiemu oblúku je tupý
• Obvodový uhol nad priemerom je pravý (Tálesova veta)

Viď. dokument nižšie.