Číselné množiny – prirodzené, celé, racionálne, iracionálne a reálne čísla

Číselné množiny – prirodzené, celé, racionálne, iracionálne a reálne čísla

Číselné množiny slúžia na rozdelenie čísel podľa ich vlastností. Medzi základné číselné množiny patria prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla, iracionálne čísla a reálne čísla.

Jednotlivé množiny spolu súvisia a niektoré sú súčasťou väčších množín. Platí:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

To znamená, že prirodzené čísla sú súčasťou celých čísel, celé čísla sú súčasťou racionálnych čísel a racionálne čísla sú súčasťou reálnych čísel.

Prehľad číselných množín

Číselná množina	Značka	Charakteristika	Príklady
Prirodzené čísla	ℕ	Čísla používané najmä na počítanie	1, 2, 3, 4, 5, ...
Celé čísla	ℤ	Prirodzené čísla, nula a záporné celé čísla	..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
Racionálne čísla	ℚ	Čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok dvoch celých čísel	1/2, −3/4, 5, 0,25, 0,333...
Iracionálne čísla	ℝ ℚ	Čísla, ktoré nemožno vyjadriť ako podiel dvoch celých čísel	π, √2, √3
Reálne čísla	ℝ	Všetky racionálne a iracionálne čísla	−5, 0, 2/3, √2, π

Reálne čísla – ℝ

Reálne čísla tvoria všetky čísla, ktoré môžeme znázorniť na číselnej osi. Zahŕňajú racionálne aj iracionálne čísla.

Platí:

ℝ = ℚ ∪ (ℝ ℚ)

Reálne čísla teda rozdeľujeme na:

• racionálne čísla ℚ,
• iracionálne čísla ℝ ℚ.

Každé reálne číslo je buď racionálne, alebo iracionálne. Nemôže patriť súčasne do oboch týchto množín.

Racionálne čísla – ℚ

Racionálne čísla sú čísla, ktoré môžeme zapísať v tvare zlomku:

a / b

kde a a b sú celé čísla a zároveň platí b ≠ 0.

Menovateľ zlomku nikdy nemôže byť nula, pretože delenie nulou nie je definované.

Príklady racionálnych čísel

• 1/2
• 3/4
• −7/5
• 8 = 8/1
• 0 = 0/1
• 0,5 = 1/2
• 0,25 = 1/4
• 0,333... = 1/3

Do racionálnych čísel teda patria celé čísla, zlomky, konečné desatinné čísla aj nekonečné periodické desatinné čísla.

Desatinný zápis racionálnych čísel

Racionálne číslo môže mať dva základné druhy desatinného zápisu:

• konečný desatinný zápis,
• nekonečný periodický desatinný zápis.

Konečné desatinné čísla

Pri konečnom desatinnom čísle sa počet číslic za desatinnou čiarkou po určitom mieste skončí.

Príklady:

• 0,5
• 1,25
• −3,75
• 12,125

Takéto čísla vieme vždy zapísať ako zlomok. Napríklad:

0,5 = 5/10 = 1/2

0,25 = 25/100 = 1/4

Periodické desatinné čísla

Pri periodickom desatinnom čísle sa určitá číslica alebo skupina číslic za desatinnou čiarkou stále opakuje. Opakujúca sa časť sa nazýva perióda.

Príklady:

• 0,333... = 1/3
• 0,666... = 2/3
• 0,121212... = 12/99 = 4/33

Aj všetky periodické desatinné čísla patria medzi racionálne čísla.

Celé čísla – ℤ

Celé čísla zahŕňajú kladné celé čísla, nulu a záporné celé čísla.

Zapisujeme ich:

ℤ = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Celé čísla nemajú desatinnú ani zlomkovú časť.

Kladné celé čísla

Sú to čísla väčšie ako nula:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Nula

Číslo 0 nie je ani kladné, ani záporné. Nachádza sa medzi kladnými a zápornými číslami.

Záporné celé čísla

Sú to celé čísla menšie ako nula:

−1, −2, −3, −4, −5, ...

Záporné čísla sa používajú napríklad pri vyjadrovaní teploty pod nulou, dlhu alebo polohy pod určitou referenčnou úrovňou.

Prirodzené čísla – ℕ

Prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame najmä pri počítaní predmetov:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

V niektorých matematických učebniciach sa medzi prirodzené čísla zahŕňa aj 0. Preto sa môžeme stretnúť aj so zápisom:

ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Vždy je preto vhodné sledovať, akú dohodu používa konkrétna učebnica alebo zadanie.

Vzťah prirodzených, celých a racionálnych čísel

Každé prirodzené číslo je zároveň celé číslo a každé celé číslo je zároveň racionálne číslo.

Napríklad číslo 5 patrí do všetkých týchto množín:

• 5 ∈ ℕ
• 5 ∈ ℤ
• 5 ∈ ℚ
• 5 ∈ ℝ

Číslo 5 je racionálne preto, že ho môžeme zapísať ako zlomok:

5 = 5/1

Preto platí:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Iracionálne čísla

Iracionálne čísla sú reálne čísla, ktoré nemožno zapísať ako zlomok dvoch celých čísel.

Ich desatinný zápis je:

• nekonečný,
• neperiodický – číslice sa neopakujú v pravidelnej perióde.

Príklady iracionálnych čísel

• π = 3,14159265...
• √2 = 1,41421356...
• √3 = 1,73205080...
• e = 2,71828182...

Iracionálne čísla môžeme označiť ako ℝ ℚ, teda reálne čísla, ktoré nepatria medzi racionálne čísla. Niekedy sa v školských materiáloch používa aj označenie ℚ′.

Je každá odmocnina iracionálne číslo?

Nie. Nie každá odmocnina je iracionálna. Záleží na čísle pod odmocninou.

• √4 = 2 → racionálne číslo,
• √9 = 3 → racionálne číslo,
• √16 = 4 → racionálne číslo,
• √2 → iracionálne číslo,
• √3 → iracionálne číslo,
• √5 → iracionálne číslo.

Ak odmocňujeme druhú mocninu celého čísla, výsledkom je celé, a teda aj racionálne číslo.

Racionálne alebo iracionálne číslo?

Číslo	Typ čísla	Vysvetlenie
5	racionálne	5 = 5/1
−7	racionálne	−7 = −7/1
1/3	racionálne	je zapísané ako zlomok
0,5	racionálne	0,5 = 1/2
0,333...	racionálne	0,333... = 1/3
√4	racionálne	√4 = 2
√2	iracionálne	má nekonečný neperiodický desatinný rozvoj
π	iracionálne	nemožno ho zapísať ako podiel dvoch celých čísel

Číselné množiny a číselná os

Všetky reálne čísla môžeme znázorniť na číselnej osi. Každému bodu na číselnej osi zodpovedá práve jedno reálne číslo a každému reálnemu číslu zodpovedá práve jeden bod.

Čísla napravo od nuly sú kladné a čísla naľavo od nuly sú záporné.

Čím viac sa číslo nachádza na číselnej osi napravo, tým je väčšie.

Napríklad:

−5 < −2 < 0 < 1,5 < 4

Ako zistiť, do ktorej číselnej množiny číslo patrí?

Pri určovaní číselnej množiny môžeme postupovať od najmenšej množiny k väčšej.

Príklad: číslo 7

Číslo 7 je:

• prirodzené,
• celé,
• racionálne,
• reálne.

Najmenšia základná množina, do ktorej patrí, je teda ℕ.

Príklad: číslo −4

Číslo −4 nie je prirodzené, ale je:

• celé,
• racionálne,
• reálne.

Najmenšia základná množina je ℤ.

Príklad: číslo 3/5

Číslo 3/5 nie je celé, ale možno ho vyjadriť ako zlomok dvoch celých čísel. Preto:

3/5 ∈ ℚ

Príklad: číslo √2

Číslo √2 nemožno vyjadriť ako zlomok dvoch celých čísel. Preto ide o iracionálne číslo:

√2 ∈ ℝ ℚ

Základné matematické symboly pri číselných množinách

Symbol	Význam	Príklad
∈	patrí do množiny	5 ∈ ℕ
∉	nepatrí do množiny	−2 ∉ ℕ
⊂	je podmnožinou	ℕ ⊂ ℤ
∪	zjednotenie množín	ℚ ∪ (ℝ ℚ) = ℝ
	rozdiel množín	ℝ ℚ

Príklady zaradenia čísel do množín

Číslo	ℕ	ℤ	ℚ	ℝ
8	áno	áno	áno	áno
−3	nie	áno	áno	áno
0,5	nie	nie	áno	áno
2/3	nie	nie	áno	áno
√2	nie	nie	nie	áno
π	nie	nie	nie	áno

Zapamätaj si

• ℕ označuje množinu prirodzených čísel.
• ℤ označuje množinu celých čísel.
• ℚ označuje množinu racionálnych čísel.
• ℝ označuje množinu reálnych čísel.
• Iracionálne čísla môžeme označiť ako ℝ ℚ.
• Platí vzťah ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
• Racionálne číslo možno zapísať ako zlomok a/b, pričom b ≠ 0.
• Konečné a nekonečné periodické desatinné čísla sú racionálne.
• Iracionálne čísla majú nekonečný neperiodický desatinný rozvoj.
• Medzi známe iracionálne čísla patria π, √2 a √3.
• Všetky racionálne aj iracionálne čísla spolu tvoria množinu reálnych čísel.