Lineárna lomená funkcia – definícia, graf, asymptoty a vlastnosti

Lineárna lomená funkcia – definícia, graf, asymptoty a vlastnosti

Lineárna lomená funkcia patrí medzi základné typy funkcií. Jej predpis obsahuje lineárny výraz v čitateli aj v menovateli. Grafom lineárnej lomenej funkcie je hyperbola, ktorej poloha závisí od koeficientov vo funkčnom predpise.

Definícia lineárnej lomenej funkcie

Lineárna lomená funkcia je funkcia daná predpisom:

y = (ax + b) / (cx + d)

kde platí:

• a, b, c, d ∈ R,
• c ≠ 0,
• bc − ad ≠ 0.

Podmienka c ≠ 0 zabezpečuje, že sa v menovateli skutočne nachádza premenná x. Podmienka bc − ad ≠ 0 zabezpečuje, že funkcia nie je konštantná a jej grafom je skutočne hyperbola.

Podmienka pre menovateľ

Menovateľ zlomku nesmie byť rovný nule:

cx + d ≠ 0

Z toho dostaneme:

x ≠ −d / c

Hodnota x = −d/c preto nepatrí do definičného oboru funkcie.

Úprava na posunutú nepriamu úmernosť

Predpis lineárnej lomenej funkcie môžeme upraviť na tvar:

y − y₀ = k / (x − x₀)

kde bod:

S[x₀, y₀]

predstavuje stred hyperboly a zároveň začiatok posunutej súradnicovej sústavy.

Lineárnu lomenú funkciu teda môžeme chápať ako posunutú nepriamu úmernosť.

Prevod všeobecného tvaru

Ak máme funkciu:

y = (ax + b) / (cx + d),

možno ju zapísať aj v tvare:

y = a/c + [(bc − ad) / c²] / (x + d/c)

Porovnaním s tvarom:

y − y₀ = k / (x − x₀)

dostávame:

• x₀ = −d/c,
• y₀ = a/c,
• k = (bc − ad) / c².

Graf lineárnej lomenej funkcie

Grafom lineárnej lomenej funkcie je hyperbola. Hyperbola má dve vetvy, ktoré sa približujú k dvom priamkam nazývaným asymptoty.

Asymptoty sa navzájom pretínajú v strede hyperboly.

Stred hyperboly

Ak je lineárna lomená funkcia daná predpisom:

y = (ax + b) / (cx + d),

stred hyperboly má súradnice:

S[−d/c, a/c]

Ak je funkcia zapísaná v posunutom tvare:

y − y₀ = k / (x − x₀),

stred hyperboly je:

S[x₀, y₀]

Asymptoty lineárnej lomenej funkcie

Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie neobmedzene približuje.

Lineárna lomená funkcia má dve asymptoty:

• vertikálnu asymptotu,
• horizontálnu asymptotu.

Asymptoty pri všeobecnom predpise

Pre funkciu:

y = (ax + b) / (cx + d)

sú asymptoty:

• x = −d/c – vertikálna asymptota,
• y = a/c – horizontálna asymptota.

Ich priesečníkom je stred hyperboly:

S[−d/c, a/c]

Asymptoty pri posunutom tvare

Pre funkciu:

y − y₀ = k / (x − x₀)

sú asymptoty:

• x = x₀,
• y = y₀.

Ich priesečníkom je stred hyperboly:

S[x₀, y₀]

Definičný obor lineárnej lomenej funkcie

Definičný obor D(f) tvorí množina všetkých hodnôt x, pre ktoré má funkcia zmysel.

Keďže menovateľ nesmie byť nulový, vylúčime hodnotu:

x = −d/c

Preto:

D(f) = (−∞, −d/c) ∪ (−d/c, ∞)

alebo stručne:

D(f) = R \ {−d/c}

Hodnota −d/c teda do definičného oboru nepatrí a zároveň určuje vertikálnu asymptotu grafu.

Obor hodnôt lineárnej lomenej funkcie

Obor hodnôt H(f) tvorí množina všetkých hodnôt y, ktoré môže funkcia nadobudnúť.

Lineárna lomená funkcia nenadobúda hodnotu:

y = a/c

Preto:

H(f) = (−∞, a/c) ∪ (a/c, ∞)

alebo:

H(f) = R \ {a/c}

Hodnota a/c zároveň určuje horizontálnu asymptotu.

Prehľad základných údajov

Vlastnosť	Hodnota
Predpis funkcie	y = (ax + b) / (cx + d)
Definičný obor	R \ {−d/c}
Obor hodnôt	R \ {a/c}
Stred hyperboly	S[−d/c, a/c]
Vertikálna asymptota	x = −d/c
Horizontálna asymptota	y = a/c
Graf	hyperbola

Monotónnosť lineárnej lomenej funkcie

Monotónnosť určuje, či funkcia na danom intervale rastie alebo klesá.

Pri posunutom tvare:

y − y₀ = k / (x − x₀)

závisí monotónnosť od znamienka čísla k.

Hodnota k	Monotónnosť
k > 0	funkcia je klesajúca na každom z intervalov (−∞, x0) a (x0, ∞)
k < 0	funkcia je rastúca na každom z intervalov (−∞, x0) a (x0, ∞)

Pre všeobecný predpis platí:

k = (bc − ad) / c²

Keďže c² > 0, o znamienku čísla k rozhoduje výraz bc − ad.

Klesajúca funkcia

Ak platí:

k > 0

funkcia je klesajúca na intervaloch:

• (−∞, x₀),
• (x₀, ∞).

Rastúca funkcia

Ak platí:

k < 0

funkcia je rastúca na intervaloch:

• (−∞, x₀),
• (x₀, ∞).

Párnosť a nepárnosť

Ak má hyperbola stred:

S[−d/c, a/c],

vo všeobecnosti funkcia nie je párna ani nepárna.

Ak sa však stred hyperboly nachádza v počiatku súradnicovej sústavy:

S[0, 0],

funkcia má tvar:

y = k/x

a je nepárna.

Pre nepárnu funkciu platí:

f(−x) = −f(x)

Jej graf je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy.

Ohraničenosť

Lineárna lomená funkcia nie je zhora ani zdola ohraničená.

V blízkosti vertikálnej asymptoty môžu hodnoty funkcie neobmedzene rásť alebo klesať. Funkcia preto môže nadobúdať ľubovoľne veľké kladné aj záporné hodnoty.

Extrémy

Lineárna lomená funkcia nemá minimum ani maximum.

Na jednotlivých intervaloch definičného oboru je monotónna a pri približovaní sa k vertikálnej asymptote jej hodnoty rastú alebo klesajú bez ohraničenia.

Prostosť lineárnej lomenej funkcie

Lineárna lomená funkcia je pri uvedených podmienkach prostá.

To znamená, že rôznym hodnotám argumentu x z definičného oboru zodpovedajú rôzne funkčné hodnoty:

x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Priesečníky grafu s osami x a y

Pri kreslení grafu lineárnej lomenej funkcie je užitočné vypočítať jeho priesečníky so súradnicovými osami.

Priesečník s osou x

Priesečník s osou x získame tak, že položíme:

y = 0

Pre funkciu:

y = (ax + b) / (cx + d)

musí byť čitateľ rovný nule:

ax + b = 0

odkiaľ:

x = −b/a

Priesečník s osou x je teda:

P_x[−b/a, 0]

Tento zápis platí, ak a ≠ 0 a vypočítaná hodnota patrí do definičného oboru funkcie.

Priesečník s osou y

Priesečník s osou y získame dosadením:

x = 0

Potom:

y = b/d

Priesečník s osou y je:

P_y[0, b/d]

Tento priesečník existuje, ak d ≠ 0, teda ak hodnota x = 0 patrí do definičného oboru funkcie.

Postup pri určovaní vlastností lineárnej lomenej funkcie

Ak máme zadanú funkciu:

f(x) = (ax + b) / (cx + d),

môžeme postupovať nasledovne:

1. Určíme definičný obor – menovateľ položíme rôzny od nuly.
2. Určíme vertikálnu asymptotu – je daná hodnotou x = −d/c.
3. Určíme horizontálnu asymptotu – má rovnicu y = a/c.
4. Určíme stred hyperboly – S[−d/c, a/c].
5. Určíme obor hodnôt – vylúčime hodnotu y = a/c.
6. Upravíme funkciu na posunutú nepriamu úmernosť, ak je to potrebné.
7. Určíme monotónnosť podľa znamienka koeficientu k.
8. Vypočítame priesečník s osou x dosadením y = 0.
9. Vypočítame priesečník s osou y dosadením x = 0.
10. Načrtneme obe vetvy hyperboly vzhľadom na asymptoty a vypočítané body.

Ako načrtnúť graf lineárnej lomenej funkcie

Pri kreslení grafu je vhodné dodržať nasledujúci postup:

1. určíme definičný obor,
2. vypočítame stred hyperboly,
3. nakreslíme vertikálnu a horizontálnu asymptotu,
4. určíme znamienko koeficientu k,
5. zistíme, ako budú orientované vetvy hyperboly,
6. vypočítame priesečníky s osami, ak existujú,
7. môžeme vypočítať aj niekoľko ďalších bodov grafu,
8. nakreslíme obe vetvy hyperboly tak, aby sa približovali k asymptotám, ale nepretínali ich.

Najdôležitejšie poznatky o lineárnej lomenej funkcii

• Lineárna lomená funkcia má predpis y = (ax + b)/(cx + d).
• Platí c ≠ 0 a bc − ad ≠ 0.
• Grafom funkcie je hyperbola.
• Funkciu možno chápať ako posunutú nepriamu úmernosť.
• Stred hyperboly je S[−d/c, a/c].
• Vertikálna asymptota má rovnicu x = −d/c.
• Horizontálna asymptota má rovnicu y = a/c.
• Definičný obor je R \ {−d/c}.
• Obor hodnôt je R \ {a/c}.
• Funkcia nie je zhora ani zdola ohraničená.
• Nemá minimum ani maximum.
• Je prostá.
• Ak má stred v bode [0, 0], ide o nepárnu funkciu tvaru y = k/x.
• Priesečník s osou x získame dosadením y = 0.
• Priesečník s osou y získame dosadením x = 0.