Štatistika – základné pojmy, početnosť, priemer, modus a medián

Štatistika – základné pojmy, početnosť, priemer, modus a medián

Štatistika je časť matematiky, ktorá sa zaoberá zberom, spracovaním, vyhodnocovaním a zobrazovaním údajov. Údaje môžeme vyhodnocovať výpočtom alebo graficky, napríklad pomocou tabuliek, stĺpcových grafov, kruhových grafov či diagramov.

Štatistika sa využíva všade tam, kde potrebujeme pracovať s väčším množstvom údajov. Napríklad pri zisťovaní počtu obyvateľov, výsledkov testov, známok žiakov, návštevnosti webovej stránky, výšky ľudí, cien výrobkov alebo počtu predaných kusov.

Základné pojmy v štatistike

Základný súbor, štatistický súbor

Základný súbor, nazývaný aj štatistický súbor, je konečná neprázdna množina prvkov, ktoré skúmame.

Každý prvok tejto množiny sa nazýva štatistická jednotka.

Príklady štatistického súboru:

• žiaci jednej triedy,
• obyvatelia jedného mesta,
• známky z písomky,
• autá na parkovisku,
• návštevníci webovej stránky za jeden deň.

Ak napríklad skúmame výšku žiakov v triede, štatistickým súborom sú všetci žiaci danej triedy. Jeden konkrétny žiak je štatistická jednotka.

Rozsah súboru

Rozsah súboru označujeme písmenom n.

Je to počet všetkých prvkov štatistického súboru.

Ak je v triede 25 žiakov, rozsah súboru je:

n = 25

Ak máme zapísaných 10 známok z písomky, rozsah súboru je:

n = 10

Štatistický znak

Štatistický znak je vlastnosť, ktorú pri prvkoch štatistického súboru sledujeme.

Označuje sa často ako xᵢ.

Príklady štatistických znakov:

• výška žiaka,
• vek človeka,
• známka z testu,
• počet súrodencov,
• farba očí,
• počet bodov v súťaži.

Hodnoty štatistického znaku sa môžu v súbore opakovať. Napríklad viacerí žiaci môžu mať z testu známku 2 alebo viacerí ľudia môžu mať rovnaký vek.

Rozdelenie početnosti znaku

Rozdelenie početnosti nám ukazuje, koľkokrát sa jednotlivé hodnoty štatistického znaku vyskytujú.

Najčastejšie rozlišujeme:

• absolútnu početnosť,
• relatívnu početnosť.

Absolútna početnosť

Absolútna početnosť označuje, koľkokrát sa určitá hodnota štatistického znaku v súbore opakuje.

Označuje sa nᵢ.

Príklad:

Ak z písomky získali traja žiaci známku 1, potom absolútna početnosť známky 1 je:

nᵢ = 3

To znamená, že známka 1 sa v súbore vyskytla trikrát.

Relatívna početnosť

Relatívna početnosť vyjadruje, akú časť z celého súboru tvorí určitá hodnota znaku.

Vypočítame ju ako podiel:

relatívna početnosť = nᵢ / n

kde:

• nᵢ je absolútna početnosť danej hodnoty,
• n je rozsah celého súboru.

Príklad:

V triede je 20 žiakov. Známku 1 dostali 4 žiaci.

nᵢ = 4

n = 20

Relatívna početnosť je:

4 / 20 = 0,2

To znamená, že známku 1 získalo 0,2, teda 20 % žiakov.

Prehľadná tabuľka pojmov

Pojem	Označenie	Význam	Príklad
Štatistický súbor	Množina prvkov, ktoré skúmame	žiaci triedy
Štatistická jednotka	Jeden prvok súboru	jeden konkrétny žiak
Rozsah súboru	n	Počet všetkých prvkov súboru	25 žiakov
Štatistický znak	xᵢ	Vlastnosť, ktorú sledujeme	známka z testu
Absolútna početnosť	nᵢ	Koľkokrát sa hodnota vyskytla	známku 1 majú 4 žiaci
Relatívna početnosť	nᵢ / n	Podiel hodnoty na celku	4 / 20 = 0,2 = 20 %

Charakteristiky polohy

Charakteristiky polohy nám pomáhajú určiť, kde sa približne nachádza stred alebo typická hodnota štatistického súboru.

Medzi základné charakteristiky polohy patria:

• modus,
• medián,
• aritmetický priemer.

Modus

Modus je hodnota štatistického znaku, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie.

Inak povedané, je to hodnota s najväčšou absolútnou početnosťou.

Príklad:

Máme známky:

1, 2, 2, 3, 2, 4, 1

Najčastejšie sa vyskytuje známka 2.

Preto:

modus = 2

Súbor môže mať aj viac modusov, ak sa viac hodnôt vyskytuje rovnako často.

Medián

Medián je prostredná hodnota štatistického súboru.

Najprv musíme hodnoty usporiadať podľa veľkosti.

Ak je počet hodnôt nepárny, medián je prostredná hodnota.

Príklad:

1, 2, 2, 3, 4

Prostredná hodnota je 2.

Preto:

medián = 2

Ak je počet hodnôt párny, medián vypočítame ako aritmetický priemer dvoch prostredných hodnôt.

Príklad:

1, 2, 3, 4

Dve prostredné hodnoty sú 2 a 3.

medián = (2 + 3) / 2 = 2,5

Aritmetický priemer

Aritmetický priemer je hodnota, ktorú získame tak, že súčet všetkých hodnôt vydelíme ich počtom.

Priemer označujeme často ako x̄.

Jednoduchý aritmetický priemer vypočítame takto:

x̄ = súčet hodnôt / počet hodnôt

Príklad:

Máme známky:

1, 2, 2, 3, 4

Súčet známok je:

1 + 2 + 2 + 3 + 4 = 12

Počet známok je:

5

Priemer je:

12 / 5 = 2,4

Aritmetický priemer známok je 2,4.

Vážený aritmetický priemer

Ak sa niektoré hodnoty opakujú viackrát, môžeme použiť vážený aritmetický priemer.

Vzorec:

x̄ = (n₁ · x₁ + n₂ · x₂ + n₃ · x₃ + ... + nₖ · xₖ) / n

kde:

• x₁, x₂, x₃, ... sú hodnoty štatistického znaku,
• n₁, n₂, n₃, ... sú ich absolútne početnosti,
• n je rozsah súboru.

Príklad:

Známka	Počet žiakov
1	3
2	5
3	2

Spolu je žiakov:

3 + 5 + 2 = 10

Priemer vypočítame:

x̄ = (3 · 1 + 5 · 2 + 2 · 3) / 10

x̄ = (3 + 10 + 6) / 10

x̄ = 19 / 10

x̄ = 1,9

Priemerná známka je 1,9.

Ďalšie štatistické charakteristiky

Rozptyl

Rozptyl vyjadruje, ako veľmi sú hodnoty rozptýlené okolo aritmetického priemeru.

Ak sú hodnoty blízko priemeru, rozptyl je malý.

Ak sú hodnoty od priemeru veľmi vzdialené, rozptyl je veľký.

Rozptyl označujeme často ako:

s²

Smerodajná odchýlka

Smerodajná odchýlka vyjadruje, ako veľmi sa hodnoty v priemere odchyľujú od aritmetického priemeru.

Označuje sa:

s

Platí:

s = √s²

V praxi teda smerodajná odchýlka vznikne odmocnením rozptylu.

Poznámka: V pôvodnom texte je vzorec na smerodajnú odchýlku zapísaný zjednodušene/neúplne. Pri bežnom školskom zápise sa vo vzorci používa druhá mocnina odchýlky od priemeru, teda výraz typu (xᵢ − x̄)².

Variačné rozpätie

Variačné rozpätie vyjadruje rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou v súbore.

Vzorec:

R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ

Príklad:

Máme hodnoty:

3, 5, 8, 10, 12

Najväčšia hodnota je:

12

Najmenšia hodnota je:

3

Variačné rozpätie je:

R = 12 − 3 = 9

To znamená, že rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou je 9.

Ukážkový príklad s tabuľkou

Predstavme si, že máme známky z písomky v jednej triede:

Známka	Absolútna početnosť	Relatívna početnosť
1	4	4 / 20 = 0,20 = 20 %
2	7	7 / 20 = 0,35 = 35 %
3	5	5 / 20 = 0,25 = 25 %
4	3	3 / 20 = 0,15 = 15 %
5	1	1 / 20 = 0,05 = 5 %
Spolu	20	1 = 100 %

Z tabuľky vieme zistiť:

• rozsah súboru: n = 20,
• štatistický znak: známka z písomky,
• najčastejšia známka: 2,
• modus: 2,
• relatívna početnosť známky 1: 20 %,
• relatívna početnosť známky 5: 5 %.

Ako postupovať pri riešení úloh zo štatistiky

Najprv si určíme štatistický súbor

Zistíme, čo vlastne skúmame.

Napríklad:

• žiakov v triede,
• výsledky testu,
• počty návštev,
• vek osôb,
• známky z písomky.

Potom určíme rozsah súboru

Spočítame všetky prvky súboru.

To znamená, že zistíme hodnotu n.

Následne určíme štatistický znak

Zistíme, akú vlastnosť sledujeme.

Napríklad:

• známku,
• vek,
• výšku,
• počet bodov,
• počet súrodencov.

Vytvoríme tabuľku početností

Do tabuľky zapíšeme jednotlivé hodnoty a ich početnosti.

Sledujeme najmä:

• hodnotu znaku,
• absolútnu početnosť,
• relatívnu početnosť.

Nakoniec vypočítame charakteristiky polohy

Podľa zadania môžeme určiť:

• modus,
• medián,
• aritmetický priemer.

Štatistika

Štatistika skúma a vyhodnocuje údaje. Štatistický súbor je množina prvkov, ktoré sledujeme. Rozsah súboru je počet všetkých prvkov. Štatistický znak je vlastnosť, ktorú pri prvkoch skúmame. Absolútna početnosť hovorí, koľkokrát sa hodnota vyskytla, a relatívna početnosť vyjadruje jej podiel na celku.

Medzi dôležité charakteristiky polohy patria modus, medián a aritmetický priemer. Modus je najčastejšia hodnota, medián je prostredná hodnota a aritmetický priemer vypočítame ako súčet hodnôt vydelený ich počtom.

Viď. dokument nižšie.