Množiny – prvky, podmnožiny, množinové operácie a Karteziánsky súčin

Množiny – prvky, podmnožiny, množinové operácie a Karteziánsky súčin

Množina je súbor prvkov, ktoré spĺňajú určitú vlastnosť. Pri práci s množinami určujeme, ktoré prvky do nich patria, aký je vzťah medzi jednotlivými množinami a aké operácie s nimi môžeme vykonávať. Medzi základné učivo patria množiny a množinové operácie, podmnožiny, prienik, zjednotenie, rozdiel, doplnok a Karteziánsky súčin.

Množina

Množina je súbor prvkov, ktoré spĺňajú určitú vlastnosť.

Množina je jednoznačne určená vtedy, keď o každom prvku dokážeme rozhodnúť, či danú vlastnosť má alebo nemá, teda či do množiny patrí alebo nepatrí.

Prvok patrí do množiny

Ak prvok x patrí do množiny A, zapisujeme:

x ∈ A

Prvok nepatrí do množiny

Ak prvok x nepatrí do množiny A, zapisujeme:

x ∉ A

Označovanie množín a prvkov

• Množiny označujeme napríklad veľkými písmenami A, B, R, ...
• Prvky množín označujeme napríklad a, b, 1, 2, ...

Určovanie množín

Množinu môžeme určiť najmä dvoma spôsobmi:

• vymenovaním všetkých jej prvkov,
• udaním charakteristickej vlastnosti jej prvkov.

Určenie množiny vymenovaním prvkov

Tento spôsob používame najmä pri konečných množinách.

Konečná množina je množina, ktorá má konečný počet prvkov.

Príklad:

A = {1, 2, 3, 4}

Množina A obsahuje štyri prvky: 1, 2, 3 a 4.

Určenie množiny charakteristickou vlastnosťou

Tento spôsob je vhodný najmä pri nekonečných množinách.

Nekonečná množina je množina, ktorá má nekonečný počet prvkov.

Príkladom je množina všetkých reálnych čísel.

Množinu môžeme zapísať aj pomocou vlastnosti, ktorú musia jej prvky spĺňať:

B = {x ∈ N; x ≥ 6}

Do množiny B teda patria prirodzené čísla, ktoré sú väčšie alebo rovné 6.

Podmnožina

Množina A je podmnožinou množiny B práve vtedy, keď je každý prvok množiny A zároveň prvkom množiny B.

Symbolicky:

A ⊂ B ⇔ (∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Zápis vyjadruje, že ak ľubovoľný prvok x patrí do množiny A, potom musí patriť aj do množiny B.

Príklady podmnožín

• Množina {1, 2, 3} je podmnožinou množiny prirodzených čísel.
• Množina všetkých prirodzených čísel deliteľných číslom 9 je podmnožinou množiny všetkých čísel deliteľných číslom 3.

Počet podmnožín

Ak má množina n prvkov, počet všetkých jej podmnožín je:

2ⁿ

Množinové operácie

S množinami môžeme vykonávať rôzne operácie. Medzi základné patria:

• prienik,
• zjednotenie,
• rozdiel,
• doplnok.

Prienik množín

Prienik množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A a zároveň aj do množiny B.

Prienik zapisujeme:

A ∩ B

Do prieniku teda patria iba tie prvky, ktoré majú obe množiny spoločné.

Zjednotenie množín

Zjednotenie množín A a B je množina všetkých prvkov z množiny U, ktoré patria aspoň do jednej z množín A alebo B.

Zjednotenie zapisujeme:

A ∪ B

Do zjednotenia patria prvky, ktoré sú:

• iba v množine A,
• iba v množine B,
• alebo súčasne v množinách A aj B.

Rozdiel množín

Rozdiel množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A, ale nepatria do množiny B.

Zapisujeme:

A − B

Pri rozdiele teda z množiny A vyberáme iba tie prvky, ktoré sa nenachádzajú v množine B.

Doplnok množiny

Doplnok alebo komplement množiny A je množina všetkých prvkov patriacich do množiny U, ktoré nepatria do množiny A.

Doplnok množiny A označujeme:

A' = U − A

Množina U predstavuje množinu, vzhľadom na ktorú doplnok určujeme.

Prehľad množinových operácií

Karteziánsky súčin množín

Karteziánsky súčin množín A a B je množina obsahujúca všetky usporiadané dvojice, ktorých prvý prvok patrí do množiny A a druhý prvok patrí do množiny B.

Zapisujeme:

A × B = {[a, b] : a ∈ A ∧ b ∈ B}

V usporiadanej dvojici:

[a, b]

platí, že:

• prvý prvok a patrí do množiny A,
• druhý prvok b patrí do množiny B.

Rovnosť usporiadaných dvojíc

Dve usporiadané dvojice [a, b] a [c, d] považujeme za rovnaké práve vtedy, keď sa rovnajú ich príslušné prvky.

Platí:

[a, b] = [c, d] ⇔ a = c ∧ b = d

Prvý prvok prvej dvojice sa teda musí rovnať prvému prvku druhej dvojice a zároveň sa musí druhý prvok prvej dvojice rovnať druhému prvku druhej dvojice.

Komutatívnosť

Komutatívnosť alebo komutativita je vlastnosť binárnej operácie, pri ktorej výsledok nezávisí od poradia operandov.

Binárna operácia ⊙ je na množine S komutatívna, ak pre každé x a y z množiny S platí:

x ⊙ y = y ⊙ x

Príklady komutatívnych operácií

Medzi komutatívne operácie patria napríklad:

• sčítanie reálnych čísel,
• násobenie reálnych čísel.

Pri týchto operáciách teda môžeme zmeniť poradie operandov bez toho, aby sa zmenil výsledok.

Nekomutatívne operácie

Nie všetky matematické operácie sú komutatívne. Medzi nekomutatívne operácie patria napríklad:

• odčítanie reálnych čísel,
• delenie reálnych čísel bez nuly.

Pri týchto operáciách môže zmena poradia operandov zmeniť výsledok.

Asociatívnosť

Asociatívnosť je vlastnosť operácie, pri ktorej nezáleží na umiestnení zátvoriek.

Binárna operácia na množine M je asociatívna, ak platí:

∀a, b, c ∈ M: (a · b) · c = a · (b · c)

Ak je operácia asociatívna, poloha zátvoriek nemá vplyv na výsledok. Zátvorky preto môžeme vynechať a zapísať:

a · b · c

Príklady asociatívnych operácií

Asociatívne sú napríklad:

• sčítanie reálnych čísel,
• násobenie reálnych čísel,
• prienik množín,
• zjednotenie množín.

Operácia, ktorá nie je asociatívna

Odčítanie reálnych čísel nie je asociatívne.

Napríklad:

(5 − 3) − 2 ≠ 5 − (3 − 2)

Poloha zátvoriek teda pri odčítaní ovplyvňuje výsledok.

Komutatívnosť a asociatívnosť – rozdiel

Čo si zapamätať

• Množina je súbor prvkov, ktoré spĺňajú určitú vlastnosť.
• Zápis x ∈ A znamená, že prvok x patrí do množiny A.
• Zápis x ∉ A znamená, že prvok x do množiny A nepatrí.
• Množinu môžeme určiť vymenovaním prvkov alebo pomocou charakteristickej vlastnosti.
• Konečná množina má konečný počet prvkov.
• Nekonečná množina má nekonečný počet prvkov.
• Množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok A patrí aj do B.
• n-prvková množina má 2ⁿ podmnožín.
• Prienik obsahuje prvky spoločné pre obe množiny.
• Zjednotenie obsahuje prvky patriace aspoň do jednej z množín.
• Rozdiel A − B obsahuje prvky z A, ktoré nepatria do B.
• Doplnok A' obsahuje prvky množiny U, ktoré nepatria do A.
• Karteziánsky súčin obsahuje usporiadané dvojice prvkov.
• Pri komutatívnej operácii nezáleží na poradí operandov.
• Pri asociatívnej operácii nezáleží na umiestnení zátvoriek.
• Sčítanie a násobenie reálnych čísel sú komutatívne aj asociatívne.
• Prienik a zjednotenie množín sú asociatívne operácie.
• Odčítanie nie je komutatívne ani asociatívne.