Množina je súbor prvkov, ktoré spĺňajú určitú vlastnosť. Pri práci s množinami určujeme, ktoré prvky do nich patria, aký je vzťah medzi jednotlivými množinami a aké operácie s nimi môžeme vykonávať. Medzi základné učivo patria množiny a množinové operácie, podmnožiny, prienik, zjednotenie, rozdiel, doplnok a Karteziánsky súčin.
Množina je súbor prvkov, ktoré spĺňajú určitú vlastnosť.
Množina je jednoznačne určená vtedy, keď o každom prvku dokážeme rozhodnúť, či danú vlastnosť má alebo nemá, teda či do množiny patrí alebo nepatrí.
Ak prvok x patrí do množiny A, zapisujeme:
x ∈ A
Ak prvok x nepatrí do množiny A, zapisujeme:
x ∉ A
Množinu môžeme určiť najmä dvoma spôsobmi:
Tento spôsob používame najmä pri konečných množinách.
Konečná množina je množina, ktorá má konečný počet prvkov.
Príklad:
A = {1, 2, 3, 4}
Množina A obsahuje štyri prvky: 1, 2, 3 a 4.
Tento spôsob je vhodný najmä pri nekonečných množinách.
Nekonečná množina je množina, ktorá má nekonečný počet prvkov.
Príkladom je množina všetkých reálnych čísel.
Množinu môžeme zapísať aj pomocou vlastnosti, ktorú musia jej prvky spĺňať:
B = {x ∈ N; x ≥ 6}
Do množiny B teda patria prirodzené čísla, ktoré sú väčšie alebo rovné 6.
Množina A je podmnožinou množiny B práve vtedy, keď je každý prvok množiny A zároveň prvkom množiny B.
Symbolicky:
A ⊂ B ⇔ (∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Zápis vyjadruje, že ak ľubovoľný prvok x patrí do množiny A, potom musí patriť aj do množiny B.
Ak má množina n prvkov, počet všetkých jej podmnožín je:
2n
S množinami môžeme vykonávať rôzne operácie. Medzi základné patria:
Prienik množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A a zároveň aj do množiny B.
Prienik zapisujeme:
A ∩ B
Do prieniku teda patria iba tie prvky, ktoré majú obe množiny spoločné.
Zjednotenie množín A a B je množina všetkých prvkov z množiny U, ktoré patria aspoň do jednej z množín A alebo B.
Zjednotenie zapisujeme:
A ∪ B
Do zjednotenia patria prvky, ktoré sú:
Rozdiel množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A, ale nepatria do množiny B.
Zapisujeme:
A − B
Pri rozdiele teda z množiny A vyberáme iba tie prvky, ktoré sa nenachádzajú v množine B.
Doplnok alebo komplement množiny A je množina všetkých prvkov patriacich do množiny U, ktoré nepatria do množiny A.
Doplnok množiny A označujeme:
A' = U − A
Množina U predstavuje množinu, vzhľadom na ktorú doplnok určujeme.
| Operácia | Zápis | Význam |
|---|---|---|
| Prienik | A ∩ B | Prvky, ktoré patria zároveň do A aj B. |
| Zjednotenie | A ∪ B | Prvky, ktoré patria aspoň do jednej z množín A alebo B. |
| Rozdiel | A − B | Prvky, ktoré patria do A, ale nepatria do B. |
| Doplnok | A' = U − A | Prvky množiny U, ktoré nepatria do A. |
Karteziánsky súčin množín A a B je množina obsahujúca všetky usporiadané dvojice, ktorých prvý prvok patrí do množiny A a druhý prvok patrí do množiny B.
Zapisujeme:
A × B = {[a, b] : a ∈ A ∧ b ∈ B}
V usporiadanej dvojici:
[a, b]
platí, že:
Dve usporiadané dvojice [a, b] a [c, d] považujeme za rovnaké práve vtedy, keď sa rovnajú ich príslušné prvky.
Platí:
[a, b] = [c, d] ⇔ a = c ∧ b = d
Prvý prvok prvej dvojice sa teda musí rovnať prvému prvku druhej dvojice a zároveň sa musí druhý prvok prvej dvojice rovnať druhému prvku druhej dvojice.
Komutatívnosť alebo komutativita je vlastnosť binárnej operácie, pri ktorej výsledok nezávisí od poradia operandov.
Binárna operácia ⊙ je na množine S komutatívna, ak pre každé x a y z množiny S platí:
x ⊙ y = y ⊙ x
Medzi komutatívne operácie patria napríklad:
Pri týchto operáciách teda môžeme zmeniť poradie operandov bez toho, aby sa zmenil výsledok.
Nie všetky matematické operácie sú komutatívne. Medzi nekomutatívne operácie patria napríklad:
Pri týchto operáciách môže zmena poradia operandov zmeniť výsledok.
Asociatívnosť je vlastnosť operácie, pri ktorej nezáleží na umiestnení zátvoriek.
Binárna operácia na množine M je asociatívna, ak platí:
∀a, b, c ∈ M: (a · b) · c = a · (b · c)
Ak je operácia asociatívna, poloha zátvoriek nemá vplyv na výsledok. Zátvorky preto môžeme vynechať a zapísať:
a · b · c
Asociatívne sú napríklad:
Odčítanie reálnych čísel nie je asociatívne.
Napríklad:
(5 − 3) − 2 ≠ 5 − (3 − 2)
Poloha zátvoriek teda pri odčítaní ovplyvňuje výsledok.
| Vlastnosť | Čo vyjadruje | Všeobecný zápis |
|---|---|---|
| Komutatívnosť | Nezáleží na poradí operandov. | x ⊙ y = y ⊙ x |
| Asociatívnosť | Nezáleží na umiestnení zátvoriek. | (a · b) · c = a · (b · c) |