Mocninové funkcie – vlastnosti, grafy, párne a nepárne funkcie

Mocninové funkcie – vlastnosti, grafy, párne a nepárne funkcie

Mocninová funkcia je funkcia, ktorej predpis má tvar f(x) = xⁿ. Jej vlastnosti a tvar grafu závisia najmä od hodnoty exponenta. Pri určovaní vlastností mocninových funkcií a ich grafov je preto dôležité rozlišovať, či je exponent párny alebo nepárny, kladný alebo záporný.

Mocninová funkcia

Mocninová funkcia je každá funkcia daná predpisom:

f(x) = xⁿ

Vlastnosti mocninovej funkcie závisia od exponenta n. Podľa jeho hodnoty sa môže meniť:

• definičný obor funkcie,
• obor hodnôt,
• monotónnosť funkcie,
• ohraničenosť,
• existencia maxima alebo minima,
• súmernosť grafu.

Párna a nepárna funkcia

Pri mocninových funkciách je dôležité rozlišovať párne a nepárne funkcie. Ich základnou vlastnosťou je súmernosť grafu.

Párna funkcia

Funkcia sa nazýva párna, ak súčasne platia tieto podmienky:

1. pre každé x ∈ D(f) patrí do definičného oboru aj −x,
2. pre každé x ∈ D(f) platí f(−x) = f(x).

Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi y.

Typickým príkladom je:

f(x) = x²

Pretože:

f(−x) = (−x)² = x² = f(x)

Nepárna funkcia

Funkcia sa nazýva nepárna, ak súčasne platia tieto podmienky:

1. pre každé x ∈ D(f) patrí do definičného oboru aj −x,
2. pre každé x ∈ D(f) platí f(−x) = −f(x).

Graf nepárnej funkcie je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy O.

Typickým príkladom je:

f(x) = x³

Pretože:

f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x)

Grafy mocninových funkcií

Pri funkcii:

f(x) = x^a

závisí tvar grafu od exponenta a.

• Ak je a párne, graf funkcie je súmerný podľa osi y.
• Ak je a nepárne, graf funkcie je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy O.
• Ak je a záporné, súradnicové osi predstavujú asymptoty grafu.

Mocninová funkcia s kladným párnym exponentom

Uvažujme funkciu:

f(x) = x^a, pričom a ∈ N a a je párne.

Príkladom je funkcia:

f(x) = x²

Vlastnosti

• Definičný obor: D(f) = R
• Obor hodnôt: H(f) = ⟨0; ∞)
• funkcia je párna,
• graf je súmerný podľa osi y,
• funkcia je zdola ohraničená,
• maximum nemá,
• v bode x = 0 má minimum.

Najmenšia hodnota funkcie je:

f(0) = 0

Mocninová funkcia s kladným nepárnym exponentom

Uvažujme funkciu:

f(x) = x^a, pričom a ∈ N a a je nepárne.

Typickým príkladom je:

f(x) = x³

Vlastnosti

• Definičný obor: D(f) = R
• Obor hodnôt: H(f) = R
• funkcia je nepárna,
• graf je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy O,
• funkcia je rastúca,
• nie je ohraničená zdola ani zhora,
• nemá maximum,
• nemá minimum.

Mocninová funkcia so záporným párnym exponentom

Ak je exponent záporné párne celé číslo, môžeme mocninu prepísať pomocou zlomku.

Napríklad:

f(x) = x⁻² = 1 / x²

Keďže nulou nemožno deliť, hodnota x = 0 nepatrí do definičného oboru.

Vlastnosti

• Definičný obor: D(f) = R \ {0}
• Obor hodnôt: H(f) = (0; ∞)
• funkcia je párna,
• graf je súmerný podľa osi y,
• funkcia je zdola ohraničená,
• zhora je neohraničená,
• nemá maximum,
• nemá minimum.

Graf má dve asymptoty, ktoré sú zhodné so súradnicovými osami:

• x = 0 – os y,
• y = 0 – os x.

Mocninová funkcia so záporným nepárnym exponentom

Ak je exponent záporné nepárne celé číslo, príkladom je:

f(x) = x⁻¹ = 1 / x

Vlastnosti

• Definičný obor: D(f) = R \ {0}
• Obor hodnôt: H(f) = R \ {0}
• funkcia je nepárna,
• graf je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy O,
• nie je ohraničená zdola ani zhora,
• nemá maximum,
• nemá minimum.

Aj v tomto prípade sú súradnicové osi asymptotami grafu.

Prehľad mocninových funkcií podľa exponenta

Exponent	Príklad	Definičný obor	Obor hodnôt	Súmernosť
Kladný párny	x2	R	⟨0; ∞)	Podľa osi y
Kladný nepárny	x3	R	R	Podľa bodu O
Záporný párny	x−2	R \ {0}	(0; ∞)	Podľa osi y
Záporný nepárny	x−1	R \ {0}	R \ {0}	Podľa bodu O

Odmocninové funkcie

S mocninovými funkciami úzko súvisia odmocninové funkcie:

f(x) = ⁿ√x, pričom n ∈ N

Ich vlastnosti závisia od toho, či je odmocniteľ n párny alebo nepárny.

Odmocninová funkcia s párnym odmocniteľom

Typickým príkladom je:

f(x) = √x = x^1/2

Keďže v množine reálnych čísel nemožno vypočítať párnu odmocninu zo záporného čísla, argument musí byť nezáporný.

Vlastnosti

• Definičný obor: D(f) = ⟨0; ∞)
• Obor hodnôt: H(f) = ⟨0; ∞)
• funkcia je zdola ohraničená,
• zhora je neohraničená,
• minimum má v bode x = 0,
• maximum nemá.

Odmocninová funkcia s nepárnym odmocniteľom

Typickým príkladom je:

f(x) = ∛x = x^1/3

Ak je n nepárne, odmocninu môžeme vypočítať aj zo záporných reálnych čísel.

Vlastnosti

• Definičný obor: D(f) = R
• Obor hodnôt: H(f) = R
• graf je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy O,
• funkcia nie je ohraničená zdola ani zhora,
• nemá minimum,
• nemá maximum.

Poznámka: V pôvodnom materiáli je pri nepárnej odmocninovej funkcii uvedené H(f) = ⟨0; ∞). Tento údaj je však v rozpore s ďalšími uvedenými vlastnosťami funkcie. Pre nepárnu odmocninovú funkciu platí H(f) = R.

Základné transformácie grafov funkcií

Graf funkcie môžeme meniť pomocou jednoduchých úprav jej funkčného predpisu. Materiál uvádza základné transformácie grafov: zrkadlenie, posunutie a absolútnu hodnotu.

Funkcia y = −f(x)

Znamienko mínus pred funkciou zmení znamienko všetkých jej funkčných hodnôt.

Graf funkcie:

y = −f(x)

vznikne z grafu y = f(x) osovou súmernosťou podľa osi x.

Napríklad z lineárnej funkcie:

f(x) = ax + b

dostaneme:

−f(x) = −ax − b

Funkcia y = f(x + k)

Konštanta k vo vnútri argumentu spôsobuje posunutie grafu v smere osi x, a to o opačnú hodnotu tejto konštanty.

• Ak k > 0, graf sa posunie doľava.
• Ak k < 0, graf sa posunie doprava.

Napríklad:

f(x) = ax + b

sa zmení na:

f(x + k) = a(x + k) + b

Funkcia y = f(x) + k

Ak ku všetkým funkčným hodnotám pripočítame konštantu k, celý graf sa posunie v smere osi y.

• Ak k > 0, graf sa posunie nahor.
• Ak k < 0, graf sa posunie nadol.

Napríklad:

f(x) = ax + b

sa zmení na:

f(x) + k = ax + b + k

Funkcia y = |f(x)|

Absolútna hodnota spôsobí, že záporné funkčné hodnoty sa zmenia na kladné.

Časti grafu, ktoré sa nachádzajú pod osou x, sa preto preklopia nad os x. Časti grafu ležiace na osi x alebo nad ňou zostanú nezmenené.

Napríklad pri lineárnej funkcii:

f(x) = ax + b

dostaneme:

|f(x)| = |ax + b|

Ako určovať vlastnosti mocninovej funkcie

1. Určíme exponent funkcie.
2. Zistíme, či je exponent kladný alebo záporný.
3. Určíme, či je exponent párny alebo nepárny.
4. Určíme definičný obor D(f).
5. Určíme obor hodnôt H(f).
6. Preskúmame súmernosť grafu.
7. Určíme, či je funkcia ohraničená.
8. Zistíme, či má funkcia maximum alebo minimum.
9. Pri zápornom exponente určíme asymptoty.

Čo si zapamätať

• Mocninová funkcia má základný tvar f(x) = xⁿ.
• Jej vlastnosti závisia od exponenta.
• Párna funkcia spĺňa f(−x) = f(x).
• Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi y.
• Nepárna funkcia spĺňa f(−x) = −f(x).
• Graf nepárnej funkcie je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy.
• Kladný párny exponent vedie k funkcii s nezápornými hodnotami.
• Kladný nepárny exponent umožňuje nadobúdať všetky reálne hodnoty.
• Pri zápornom exponente nepatrí číslo 0 do definičného oboru.
• Pri záporných celočíselných exponentoch sú súradnicové osi asymptotami grafu.
• Párna odmocnina je v reálnych číslach definovaná iba pre nezáporné čísla.
• Nepárna odmocnina je definovaná pre všetky reálne čísla.
• Výraz −f(x) spôsobí preklopenie grafu podľa osi x.
• Výraz f(x + k) spôsobí vodorovné posunutie grafu.
• Výraz f(x) + k spôsobí zvislé posunutie grafu.
• Výraz |f(x)| preklopí záporné časti grafu nad os x.