Zhodné zobrazovanie – stredová a osová súmernosť v rovine

Zhodné zobrazovanie – stredová a osová súmernosť v rovine

Zhodné zobrazovanie patrí medzi základné témy geometrie. Pri zobrazení v rovine priraďujeme bodom ich obrazy a sledujeme, ktoré vlastnosti geometrických útvarov sa zachovávajú. Medzi základné zhodné zobrazenia v rovine patria najmä stredová a osová súmernosť. Pri nich sa zachovávajú vzdialenosti aj veľkosti uhlov.

Zobrazenie v rovine

Zobrazenie v rovine označujeme veľkým písmenom Z. Je definované ako predpis, ktorý každému bodu X roviny priraďuje najviac jeden bod X' tej istej roviny.

Zápis zobrazenia:

Z: X → X'

Pri tomto zápise:

• X je vzor,
• X' je obraz bodu X.

Príklad

Ak zobrazenie Z priradí bodu A bod A', môžeme zapísať:

Z: A → A'

Bod A je vzor a bod A' je jeho obraz.

Zhodné zobrazenia zachovávajú vzdialenosti a uhly. Medzi základné typy patria stredová a osová súmernosť, pri ktorých sa body a útvary zobrazujú podľa presne určených pravidiel.

Samodružný bod

Bod, ktorý sa pri danom zobrazení zobrazí sám na seba, nazývame samodružný bod.

Platí:

X = X'

Vzor a jeho obraz teda predstavujú ten istý bod.

Samodružný útvar

Ak sa celý útvar U pri zobrazení zobrazí sám na seba, nazývame ho samodružný útvar.

Platí:

U' = U

Identita

Identita alebo identické zobrazenie je zobrazenie, pri ktorom je každý bod samodružný.

Každý bod sa teda zobrazí sám na seba.

Pre ľubovoľný bod X platí:

X → X

Stredová súmernosť

Stredová súmernosť je zobrazenie v rovine alebo priestore určené bodom S, ktorý nazývame stred súmernosti.

Bodu S sa priraďuje ten istý bod S. Ak bod A neleží v bode S, jeho obrazom je bod A' taký, že:

|AS| = |A'S|

Body A, S a A' teda ležia na jednej priamke a bod S sa nachádza presne medzi bodmi A a A'.

Základné prvky stredovej súmernosti

• S – stred súmernosti,
• A – vzor,
• A' – obraz bodu A.

Čo stredová súmernosť zachováva?

Stredová súmernosť zachováva:

• vzdialenosti medzi bodmi,
• veľkosti uhlov.

Preto patrí medzi zhodné zobrazenia.

Stredovo súmerné útvary

Stredovo súmerný útvar má taký bod S, že po stredovej súmernosti so stredom S sa zobrazí sám na seba.

Medzi stredovo súmerné útvary podľa materiálu patria napríklad:

• úsečka,
• štvorec,
• obdĺžnik,
• kruh,
• kosoštvorec,
• kosodĺžnik,
• pravidelný šesťuholník.

Stredovo nesúmerné útvary

Nie každý geometrický útvar má stred súmernosti.

Medzi stredovo nesúmerné útvary patria podľa materiálu:

• polpriamka,
• trojuholník,
• mnohouholníky s nepárnym počtom vrcholov, napríklad päťuholník alebo sedemuholník,
• lichobežník.

Osová súmernosť

Osová súmernosť je zobrazenie v rovine určené priamkou o, ktorú nazývame os súmernosti.

Body ležiace priamo na osi súmernosti sa zobrazia samy na seba.

Ak bod A neleží na osi o, jeho obrazom je bod A'. Pri tom platí:

|oA| = |oA'|

a zároveň:

AA' ⟂ o

Body A a A' teda ležia v rovnakej vzdialenosti od osi súmernosti, ale na opačných stranách.

Základné prvky osovej súmernosti

• o – os súmernosti,
• A – vzor,
• A' – obraz bodu A.

Ako zostrojíme obraz bodu v osovej súmernosti?

1. Z bodu A zostrojíme kolmicu na os súmernosti o.
2. Určíme vzdialenosť bodu A od osi.
3. Rovnakú vzdialenosť prenesieme na druhú stranu osi.
4. Získame bod A', ktorý je obrazom bodu A.

Os o je zároveň osou úsečky AA'.

Osovo súmerné útvary

Osovo súmerný útvar je útvar, ktorý má aspoň jednu os súmernosti. Ak by sme útvar podľa tejto osi „preložili“, jeho dve zodpovedajúce časti by sa prekryli.

Materiál medzi osovo súmerné útvary zaraďuje napríklad:

• štvorec,
• kruh,
• obdĺžnik,
• rovnostranný trojuholník,
• rovnoramenný trojuholník,
• kosoštvorec,
• kosodĺžnik,
• pravidelné mnohouholníky.

Počet osí súmernosti

Osovo súmerný útvar môže mať jednu alebo viac osí súmernosti.

Rovnostranný trojuholník

Rovnostranný trojuholník má:

3 osi súmernosti

Každá os prechádza jedným vrcholom a stredom protiľahlej strany.

Rovnoramenný trojuholník

Rovnoramenný trojuholník má:

1 os súmernosti

Os prechádza hlavným vrcholom a stredom základne.

Všeobecný trojuholník

Trojuholník, ktorý nie je rovnostranný ani rovnoramenný, nemá podľa materiálu žiadnu os súmernosti.

Je teda osovo nesúmerný.

Stredová a osová súmernosť – porovnanie

Základné pojmy – prehľad

Čo si zapamätať

• Zobrazenie v rovine označujeme veľkým písmenom Z.
• Zápis Z: X → X' znamená, že bodu X je priradený obraz X'.
• Bod X je vzor a bod X' jeho obraz.
• Samodružný bod sa pri zobrazení zobrazí sám na seba.
• Ak U' = U, útvar U je samodružným útvarom.
• Identita je zobrazenie, pri ktorom je každý bod samodružný.
• Stredová súmernosť je určená stredom súmernosti S.
• Pri stredovej súmernosti platí |AS| = |A'S|.
• Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti aj veľkosti uhlov.
• Osová súmernosť je určená osou súmernosti o.
• Pri osovej súmernosti majú vzor a obraz rovnakú vzdialenosť od osi.
• Úsečka AA' je kolmá na os súmernosti.
• Rovnostranný trojuholník má tri osi súmernosti.
• Rovnoramenný trojuholník má jednu os súmernosti.
• Trojuholník, ktorý nie je rovnostranný ani rovnoramenný, nemá os súmernosti.