Podobné zobrazenia – podobnosť, koeficient podobnosti a rovnoľahlosť

Podobné zobrazenia – podobnosť, koeficient podobnosti a rovnoľahlosť

Podobné zobrazenie mení veľkosť geometrického útvaru v rovnakom pomere, pričom rozhodujúcu úlohu má koeficient podobnosti. Medzi dôležité podobné zobrazenia a rovnoľahlosť patrí homotetia, pri ktorej je obraz bodu určený stredom rovnoľahlosti a jej koeficientom.

Podobné zobrazenie

Zobrazenie Z roviny do tej istej roviny nazývame podobným zobrazením, ak existuje kladné číslo k také, že pre každé dva body X, Y a ich obrazy:

X' = Z(X), Y' = Z(Y)

platí:

|X'Y'| = k · |XY|

Číslo k nazývame koeficient podobnosti.

Koeficient podobnosti určuje, ako sa pri zobrazení zmenia vzdialenosti medzi zodpovedajúcimi si bodmi.

Koeficient podobnosti

Podľa hodnoty koeficientu podobnosti k rozlišujeme tri základné prípady:

Koeficient k = 1

Ak platí:

k = 1

potom:

|X'Y'| = |XY|

Vzdialenosti sa nemenia a ide o zhodnosť.

Koeficient k > 1

Ak je:

k > 1

vzdialenosti medzi obrazmi bodov sú väčšie ako pôvodné vzdialenosti. Ide o zväčšenie.

Koeficient 0 < k < 1

Ak platí:

0 < k < 1

vzdialenosti medzi obrazmi sú menšie ako pôvodné vzdialenosti. Ide o zmenšenie.

Rovnoľahlosť – homotetia

Rovnoľahlosť, nazývaná aj homotetia, je podobné zobrazenie určené:

• stredom rovnoľahlosti S,
• koeficientom rovnoľahlosti λ, pričom λ ≠ 0.

Rovnoľahlosť zapisujeme:

H(S, λ)

alebo:

H_S,λ

Ak je bod X vzorom a bod X' jeho obrazom, platí:

|SX'| = |λ| · |SX|

Vzdialenosť obrazu X' od stredu rovnoľahlosti je teda |λ|-násobkom vzdialenosti pôvodného bodu X od stredu S.

Rovnoľahlosť pre λ > 0

Ak:

λ > 0

a X ≠ S, potom obraz X' leží na polpriamke SX.

Body S, X a X' teda ležia na jednej priamke a obraz sa nachádza na rovnakej strane od stredu S ako pôvodný bod.

Rovnoľahlosť pre λ < 0

Ak:

λ < 0

a X ≠ S, potom bod X' leží na opačnej polpriamke k polpriamke SX.

Obraz sa teda nachádza na opačnej strane od stredu rovnoľahlosti S ako pôvodný bod X.

Vlastnosti rovnoľahlosti

Pri rovnoľahlosti platia tieto základné vlastnosti:

• priamke zodpovedá priamka,
• zodpovedajúce si priamky sú navzájom rovnobežné,
• pri λ ≠ 1 je samodružným bodom stred rovnoľahlosti S,
• všetky priamky prechádzajúce stredom S sú samodružné,
• pri λ = 1 vzniká identita,
• pri λ = −1 vzniká stredová súmernosť.

Samodružný bod rovnoľahlosti

Ak:

λ ≠ 1

samodružným bodom rovnoľahlosti je stred S.

Stred rovnoľahlosti sa teda pri zobrazení nemení.

Samodružné priamky

Všetky priamky prechádzajúce stredom rovnoľahlosti S sú samodružné.

Pri zobrazení sa môžu meniť jednotlivé body na priamke, ale priamka ako celok sa zobrazí sama na seba.

Rovnoľahlosť pri λ = 1

Ak je:

λ = 1

rovnoľahlosť je identita.

Každý bod sa zobrazí sám na seba, a preto sú všetky body samodružné.

Rovnoľahlosť pri λ = −1

Ak je:

λ = −1

rovnoľahlosť predstavuje stredovú súmernosť so stredom S.

Dve rovnobežné úsečky a rovnoľahlosť

Ak sú dané dve rovnobežné úsečky s rôznymi dĺžkami, existujú práve dve rovnoľahlosti, ktoré zobrazia prvú úsečku na druhú.

Ak máme úsečky AB a CD, môžu vzniknúť dve možnosti:

• podľa stredu S₁: AB → CD,
• podľa stredu S₂: AB → DC.

Rozdiel spočíva v tom, ktoré koncové body úsečiek si navzájom zodpovedajú.

Rovnoľahlosť dvoch kružníc

Ak sú dané dve kružnice s rôznymi polomermi, existujú práve dve rovnoľahlosti, ktoré zobrazia prvú kružnicu na druhú.

Obrazom kružnice:

k(O, r)

v rovnoľahlosti H(S, λ) je opäť kružnica:

k'(O', r')

pričom obrazom stredu O je bod O' a pre polomer platí:

r' = |λ| · r

Polomer obrazu kružnice je teda |λ|-násobkom pôvodného polomeru.

Konštrukcia obrazu kružnice v rovnoľahlosti

Pri konštrukcii obrazu kružnice k(O, r) v rovnoľahlosti H(S, λ) najskôr určujeme obraz jej stredu O.

Vznikne bod:

O' = H(S, λ)(O)

Polomer novej kružnice je:

r' = |λ| · r

Potom zostrojíme kružnicu so stredom O' a polomerom r'.

Ak λ > 0

Stred O' leží na polpriamke SO.

Ak λ < 0

Stred O' leží na opačnej polpriamke k polpriamke SO.

Podobnosť a rovnoľahlosť – prehľad

Čo si zapamätať

• Podobné zobrazenie násobí všetky vzdialenosti rovnakým kladným číslom k.
• Číslo k nazývame koeficient podobnosti.
• Ak k = 1, ide o zhodnosť.
• Ak k > 1, ide o zväčšenie.
• Ak 0 < k < 1, ide o zmenšenie.
• Rovnoľahlosť nazývame aj homotetia.
• Rovnoľahlosť je určená stredom S a koeficientom λ ≠ 0.
• Pre obraz bodu platí |SX'| = |λ| · |SX|.
• Ak λ > 0, obraz leží na rovnakej polpriamke ako vzor.
• Ak λ < 0, obraz leží na opačnej polpriamke.
• Pri λ ≠ 1 je samodružným bodom stred S.
• Všetky priamky prechádzajúce stredom S sú samodružné.
• Pri λ = 1 je rovnoľahlosť identitou.
• Pri λ = −1 je rovnoľahlosť stredovou súmernosťou.
• Dve rovnobežné úsečky s rôznymi dĺžkami určujú dve možné rovnoľahlosti.
• Dve kružnice s rôznymi polomermi možno navzájom zobraziť dvoma rovnoľahlosťami.
• Obrazom kružnice v rovnoľahlosti je opäť kružnica.
• Pre polomer obrazu kružnice platí r' = |λ| · r.