Telesá – mnohosteny, hranoly, ihlany, guľa, valec a kužeľ

Telesá – mnohosteny, hranoly, ihlany, guľa, valec a kužeľ

Telesá patria medzi základné objekty priestorovej geometrie. Majú tri rozmery a zaberajú určitú časť priestoru. Medzi najdôležitejšie geometrické telesá patria mnohosteny, hranoly, ihlany, guľa, valec a kužeľ. Jednotlivé telesá sa od seba odlišujú najmä tvarom svojich stien, podstáv a spôsobom, akým vznikajú.

Teleso

Teleso je každá uzavretá oblasť v priestore.

Na rozdiel od rovinných geometrických útvarov má teleso tri rozmery a nachádza sa v priestore.

Mnohosten

Mnohosten je množina všetkých bodov priestoru, ktoré ležia vnútri alebo na mnohostenovej ploche.

Mnohostenová plocha vzniká ako zjednotenie najmenej štyroch hraničných mnohouholníkov, ktoré ležia v rôznych rovinách. Každá strana jedného hraničného mnohouholníka je zároveň stranou iného hraničného mnohouholníka.

Pre počet hraničných mnohouholníkov platí:

n ≥ 4

Základné časti mnohostena

• Vrchol – každý prienik aspoň troch hraničných mnohouholníkov mnohostena.
• Hrana – spoločná strana dvoch hraničných mnohouholníkov mnohostena.
• Stena – každý hraničný mnohouholník mnohostena.

Mnohosteny teda vytvárajú ich steny, ktoré sa navzájom stretávajú v hranách a vrcholoch.

Hranol

Hranol je teleso, ktoré má dve zhodné podstavy ležiace v dvoch rovnobežných rovinách.

Vzdialenosť rovín oboch podstáv nazývame výška hranola.

Ostatné steny hranola tvoria jeho plášť.

Základné časti hranola

• dve zhodné podstavy,
• bočné steny tvoriace plášť,
• hrany,
• vrcholy,
• výška hranola.

Kolmý hranol

Kolmý hranol je hranol, ktorého roviny bočných stien sú kolmé na roviny podstáv.

Pravidelný hranol

Pravidelný hranol je kolmý hranol, ktorého podstava má tvar pravidelného n-uholníka.

Podstavou teda môže byť napríklad pravidelný trojuholník, štvorec alebo iný pravidelný mnohouholník.

Rovnobežnosten

Rovnobežnosten je štvorboký hranol, ktorého podstava má tvar rovnobežníka.

Kocka

Kocka je kolmý hranol, ktorého všetky steny sú štvorce.

Je teda špeciálnym druhom hranola, pri ktorom majú všetky steny rovnaký tvar.

Kváder

Kváder je kolmý rovnobežnosten, ktorého podstavou je pravouholník.

Podstavy kvádra sú zhodné pravouholníky a bočné steny sú takisto pravouholníkové.

Ihlan

Ihlan je mnohosten, ktorého podstavou je mnohouholník a bočné steny majú tvar trojuholníkov.

Všetky bočné trojuholníkové steny majú jeden spoločný bod, ktorý nazývame vrchol ihlanu.

Vzdialenosť vrcholu ihlanu od roviny podstavy je výška ihlanu.

Základné časti ihlanu

• podstava – mnohouholník,
• bočné steny – trojuholníky,
• vrchol ihlanu – spoločný bod bočných stien,
• výška – vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy.

Pravidelný ihlan

Pravidelný ihlan má podstavu v tvare pravidelného n-uholníka a jeho bočné steny sú navzájom rovnaké.

Zrezaný ihlan

Zrezaný ihlan je časť ihlana nachádzajúca sa medzi jeho podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza ihlanom.

Vznikne teda tak, že ihlan pretne rovina rovnobežná s jeho podstavou a časť obsahujúca pôvodný vrchol sa oddelí.

Štvorsten

Štvorsten je mnohosten, ktorý má štyri steny tvaru trojuholníka.

Patrí medzi najjednoduchšie mnohosteny.

Pravidelný štvorsten

Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého všetky steny majú tvar zhodných rovnostranných trojuholníkov.

Pravidelné mnohosteny

Pravidelné mnohosteny sú mnohosteny, ktorých každá stena má tvar pravidelného mnohouholníka.

Ich steny majú teda pravidelný geometrický tvar.

Guľa

Guľa je rotačné teleso, ktoré vznikne rotáciou kruhu okolo jeho priemeru.

Pri rotácii celého kruhu okolo priemeru vznikne priestorové teleso – guľa.

Guľová plocha

Guľová plocha je povrch gule.

Tvoria ju všetky body, ktoré majú od stredu gule rovnakú vzdialenosť r.

Číslo r predstavuje polomer gule.

Guľová vrstva

Guľová vrstva je časť gule nachádzajúca sa medzi dvoma rovnobežnými rovinami, ktoré prechádzajú guľou.

Guľový pás

Guľový pás je časť guľovej plochy, ktorá tvorí plášť guľovej vrstvy.

Guľový vrchlík

Guľový vrchlík vzniká ako prienik gule s polpriestorom, ktorého hraničná rovina prechádza guľou.

Guľový výsek

Guľový výsek je prienik gule s rotačným kužeľom, ktorý má vrchol v strede gule a výšku väčšiu ako polomer gule r.

Valec

Valec je rotačné teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.

Strana obdĺžnika, okolo ktorej sa uskutočňuje rotácia, predstavuje:

• os valca,
• výšku valca.

Dĺžka druhej strany obdĺžnika predstavuje polomer valca.

Základné prvky valca

• dve kruhové podstavy,
• polomer podstavy r,
• výška valca,
• os valca,
• plášť valca.

Kužeľ

Kužeľ je rotačné teleso, ktoré vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej jeho odvesny.

Odvesna, okolo ktorej sa trojuholník otáča, predstavuje výšku kužeľa.

Druhá odvesna predstavuje polomer podstavy kužeľa.

Základné prvky kužeľa

• kruhová podstava,
• vrchol kužeľa,
• výška kužeľa,
• polomer podstavy,
• plášť kužeľa.

Zrezaný kužeľ

Zrezaný kužeľ je časť kužeľa nachádzajúca sa medzi jeho podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza kužeľom.

Podobne ako pri zrezanom ihlane vznikne odrezaním vrcholovej časti kužeľa rovinou rovnobežnou s jeho podstavou.

Rozdelenie základných telies

Teleso	Základná charakteristika
Mnohosten	Teleso ohraničené mnohouholníkmi.
Hranol	Má dve zhodné podstavy v rovnobežných rovinách.
Kocka	Kolmý hranol so všetkými stenami tvaru štvorca.
Kváder	Kolmý rovnobežnosten s pravouhlými podstavami.
Ihlan	Má jednu mnohouholníkovú podstavu a trojuholníkové bočné steny.
Štvorsten	Mnohosten so štyrmi trojuholníkovými stenami.
Guľa	Vzniká rotáciou kruhu okolo jeho priemeru.
Valec	Vzniká rotáciou obdĺžnika okolo jednej jeho strany.
Kužeľ	Vzniká rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej odvesny.

Mnohosteny a rotačné telesá

Základné telesá môžeme podľa ich tvaru rozdeliť na dve veľké skupiny.

Mnohosteny

Medzi mnohosteny patria najmä:

• hranol,
• kocka,
• kváder,
• ihlan,
• zrezaný ihlan,
• štvorsten,
• pravidelné mnohosteny.

Ich povrch je vytvorený rovinnými mnohouholníkmi.

Rotačné telesá

Medzi rotačné telesá patria:

• guľa,
• valec,
• kužeľ,
• zrezaný kužeľ.

Rotačné telesá vznikajú otáčaním rovinného geometrického útvaru okolo určenej osi.

Čo si zapamätať

• Teleso je uzavretá oblasť v priestore.
• Mnohosten je ohraničený mnohouholníkovými stenami.
• Základnými časťami mnohostena sú vrcholy, hrany a steny.
• Hranol má dve zhodné podstavy ležiace v rovnobežných rovinách.
• Vzdialenosť podstáv hranola je jeho výška.
• Pravidelný hranol je kolmý hranol s podstavou v tvare pravidelného n-uholníka.
• Kocka je kolmý hranol, ktorého všetky steny sú štvorce.
• Kváder je kolmý rovnobežnosten s pravouhlou podstavou.
• Ihlan má mnohouholníkovú podstavu a trojuholníkové bočné steny.
• Všetky bočné steny ihlanu sa stretávajú v jeho vrchole.
• Pravidelný štvorsten má všetky steny tvaru zhodných rovnostranných trojuholníkov.
• Guľa vzniká rotáciou kruhu okolo jeho priemeru.
• Guľová plocha tvorí povrch gule.
• Valec vzniká rotáciou obdĺžnika okolo jednej jeho strany.
• Kužeľ vzniká rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej odvesny.
• Zrezaný ihlan a zrezaný kužeľ vznikajú rezom rovinou rovnobežnou s podstavou.