Vektory

Vektory – maturitné príklady z matematiky

Vypracovanú maturitnú tému si môžeš pozrieť v dokumente PDF kliknutím na nasledujúci odkaz: Vektory. Doporučujeme pozrieť aj iné vypracované témy na https://zmaturuj.zones.sk/vypracovane-maturitne-temy/

Maturitný okruh 28: Vektory

1. Distributívnosť vektorového súčinu

Zadanie

Dokážte, že pre každé tri vektory u, v, w ∈ V platí:

(u + v) × w = (u × w) + (v × w)

Čo máme dokázať?

Máme overiť, že vektorový súčin je distributívny vzhľadom na sčítanie vektorov. To znamená, že vektor w môžeme vektorovo vynásobiť so súčtom u + v naraz alebo osobitne s každým vektorom a výsledky potom sčítať.

Priamy dôkaz pomocou súradníc

Nech:

u = [u_x, u_y, u_z]
v = [v_x, v_y, v_z]
w = [w_x, w_y, w_z]

Najskôr sčítame vektory u a v:

u + v = [u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z]

Teraz vypočítame:

(u + v) × w

Podľa vzorca pre vektorový súčin dostaneme:

(u + v) × w = [(u_y + v_y)w_z − (u_z + v_z)w_y, (u_z + v_z)w_x − (u_x + v_x)w_z, (u_x + v_x)w_y − (u_y + v_y)w_x]

Roznásobením výrazov získame:

[ u_yw_z − u_zw_y + v_yw_z − v_zw_y,

u_zw_x − u_xw_z + v_zw_x − v_xw_z,

u_xw_y − u_yw_x + v_xw_y − v_yw_x ]

Tento vektor môžeme rozdeliť na súčet dvoch vektorov:

[ u_yw_z − u_zw_y, u_zw_x − u_xw_z, u_xw_y − u_yw_x ]

+

[ v_yw_z − v_zw_y, v_zw_x − v_xw_z, v_xw_y − v_yw_x ]

Prvý vektor je u × w a druhý je v × w.

Preto:

(u + v) × w = (u × w) + (v × w)

ČBTD – čo bolo treba dokázať.

Zapamätaj si

Vektorový súčin je distributívny:

(u + v) × w = u × w + v × w

2. Báza trojrozmerného vektorového priestoru

Zadanie

Dokážte, že vektory:

u₁ = [1, 2, 3]
u₂ = [6, 2, 1]
u₃ = [4, 0, 0]

tvoria bázu v trojrozmernom vektorovom priestore a vyjadrite v tejto báze súradnice vektora:

v = [0, 0, 1]

Čo je báza?

Aby tri vektory tvorili bázu trojrozmerného vektorového priestoru, musia byť:

1. lineárne nezávislé,
2. musia generovať celý trojrozmerný priestor.

1. Overenie lineárnej nezávislosti

Zostavíme determinant:

| 1 2 3 |
| 6 2 1 |
| 4 0 0 |

Jeho hodnota je:

8 − 24 = −16

Keďže:

−16 ≠ 0

vektory u₁, u₂, u₃ sú lineárne nezávislé.

2. Overenie, že vektory generujú priestor

Ľubovoľný vektor:

[a, b, c]

musí byť možné zapísať ako lineárnu kombináciu:

[a, b, c] = k[1, 2, 3] + l[6, 2, 1] + m[4, 0, 0]

Porovnaním jednotlivých súradníc dostaneme sústavu:

a = k + 6l + 4m
b = 2k + 2l
c = 3k + l

Výpočet koeficientu k

Z rovníc:

b = 2k + 2l

c = 3k + l

vynásobíme tretiu rovnicu číslom 2 a odčítame:

b − 2c = −4k

Preto:

k = (2c − b) / 4

Výpočet koeficientu l

Z rovnice:

c = 3k + l

dostaneme:

l = c − 3k

Po dosadení za k:

l = (3b − 2c) / 4

Výpočet koeficientu m

Z prvej rovnice:

a = k + 6l + 4m

dostaneme:

m = (a − k − 6l) / 4

Koeficienty k, l a m teda existujú pre ľubovoľné reálne čísla a, b, c. Vektory preto generujú celý trojrozmerný priestor.

Keďže sú zároveň lineárne nezávislé, platí:

u₁, u₂, u₃ tvoria bázu.

Súradnice vektora v = [0, 0, 1] v novej báze

Dosadíme:

a = 0, b = 0, c = 1

Potom:

k = (2 · 1 − 0) / 4 = 1/2

l = (3 · 0 − 2 · 1) / 4 = −1/2

m = 5/8

Preto má vektor:

v = [0, 0, 1]

v báze (u₁, u₂, u₃) súradnice:

[1/2, −1/2, 5/8]

Zapamätaj si

V trojrozmernom priestore tvoria tri vektory bázu vtedy, keď sú lineárne nezávislé. Prakticky to môžeme overiť napríklad tak, že determinant zostavený z ich súradníc je nenulový.

3. Objem štvorstena pomocou vektorov

Zadanie

Vypočítajte objem štvorstena ABCD, ak:

A = [0, 0, 2]
B = [1, −1, 4]
C = [4, 2, 4]
D = [4, 1, 2]

Vytvorenie vektorov

Z jedného vrcholu štvorstena vytvoríme tri vektory:

u = →AB = B − A

u = [1, −1, 2]

v = →AC = C − A

v = [4, 2, 2]

t = →AD = D − A

t = [4, 1, 0]

Vzorec na objem štvorstena

Objem štvorstena vypočítame pomocou zmiešaného súčinu:

V = 1/6 · |(u × v) · t|

Faktor 1/6 vyplýva zo vzťahu medzi objemom rovnobežnostena a objemom štvorstena vytvoreného tromi vektormi vychádzajúcimi z jedného bodu.

Výpočet vektorového súčinu

u × v = [1, −1, 2] × [4, 2, 2]

Podľa vzorca pre vektorový súčin:

u × v = [−6, 6, 6]

Skalárny súčin s vektorom t

(u × v) · t = [−6, 6, 6] · [4, 1, 0]

= −6 · 4 + 6 · 1 + 6 · 0

= −24 + 6 = −18

Do vzorca na objem dosadíme absolútnu hodnotu:

V = 1/6 · |−18|

V = 18/6 = 3

Objem štvorstena ABCD je 3.

Zapamätaj si

Ak poznáme tri vektory vychádzajúce z jedného vrcholu štvorstena, môžeme jeho objem vypočítať:

V = 1/6 · |(u × v) · w|

4. Uhol vektorov vyjadrených pomocou jednotkových vektorov

Zadanie

Nájdite uhol vektorov:

a = 2m + 4n

b = m − n

kde m a n sú jednotkové vektory, ktorých vzájomný uhol je:

120°

Vzorec na uhol vektorov

Pre nenulové vektory a a b platí:

cos α = (a · b) / (|a| · |b|)

Vlastnosti jednotkových vektorov

Keďže m a n sú jednotkové:

|m| = |n| = 1

a teda:

m · m = 1

n · n = 1

Pre ich vzájomný skalárny súčin platí:

m · n = |m| · |n| · cos 120°

m · n = 1 · 1 · (−1/2)

m · n = −1/2

Výpočet skalárneho súčinu a · b

a · b = (2m + 4n) · (m − n)

Roznásobíme:

a · b = 2m · m − 2m · n + 4n · m − 4n · n

Keďže skalárny súčin je komutatívny:

m · n = n · m

dostaneme:

a · b = 2 − 2(−1/2) + 4(−1/2) − 4

a · b = −3

Veľkosť vektora a

|a| = √(a · a)

a · a = (2m + 4n) · (2m + 4n)

= 4(m · m) + 16(m · n) + 16(n · n)

= 4 + 16(−1/2) + 16

= 12

Preto:

|a| = √12 = 2√3

Veľkosť vektora b

|b| = √(b · b)

b · b = (m − n) · (m − n)

= m · m − 2m · n + n · n

= 1 − 2(−1/2) + 1

= 3

Preto:

|b| = √3

Výpočet uhla

Dosadíme do vzorca:

cos α = −3 / (2√3 · √3)

cos α = −3 / 6 = −1/2

Preto:

α = 120°

Uhol vektorov a a b je 120°.

Dôležité vzťahy

• x · x = |x|²
• pre jednotkový vektor platí |x| = 1,
• m · n = |m| · |n| · cos φ,
• ak sú m a n jednotkové, potom m · n = cos φ.

5. Kolmosť vektora na lineárnu kombináciu vektorov

Zadanie

Ak je vektor u kolmý na vektor v₁ aj na vektor v₂, dokážte, že je kolmý aj na vektor:

a · v₁ − b · v₂

kde:

a, b ∈ R

Predpoklad

Platí:

u ⊥ v₁

a zároveň:

u ⊥ v₂

Pre kolmé vektory je ich skalárny súčin nulový, takže:

u · v₁ = 0

u · v₂ = 0

Priamy dôkaz

Vypočítame skalárny súčin:

u · (a · v₁ − b · v₂)

Použijeme distributívnosť skalárneho súčinu:

= u · (a · v₁) − u · (b · v₂)

Konštanty môžeme vytknúť:

= a(u · v₁) − b(u · v₂)

Keďže:

u · v₁ = 0

a:

u · v₂ = 0

dostaneme:

a · 0 − b · 0 = 0

Teda:

u · (a · v₁ − b · v₂) = 0

A preto:

u ⊥ (a · v₁ − b · v₂)

ČBTD – čo bolo treba dokázať.

Pomocné tvrdenie 1 – distributívnosť skalárneho súčinu

Pre ľubovoľné vektory u, v, t platí:

u · (v − t) = u · v − u · t

Ak:

u = [u₁, u₂]
v = [v₁, v₂]
t = [t₁, t₂]

potom:

u · (v − t) = [u₁, u₂] · [v₁ − t₁, v₂ − t₂]

= u₁(v₁ − t₁) + u₂(v₂ − t₂)

= u₁v₁ + u₂v₂ − u₁t₁ − u₂t₂

= u · v − u · t

Pomocné tvrdenie 2 – násobenie vektora číslom

Pre ľubovoľné vektory u, v a reálne číslo a platí:

u · (a · v) = a · (u · v)

Ak:

u = [u₁, u₂]
v = [v₁, v₂]

potom:

u · (a · v) = [u₁, u₂] · [av₁, av₂]

= au₁v₁ + au₂v₂

= a(u₁v₁ + u₂v₂)

= a(u · v)

Rovnaké dôkazy možno obdobne použiť aj pre aritmetické vektorové priestory usporiadaných n-tíc.

Najdôležitejšie poznatky k maturitným príkladom z vektorov

Téma	Dôležitý vzťah
Distributívnosť vektorového súčinu	(u + v) × w = u × w + v × w
Lineárna nezávislosť troch vektorov	determinant ≠ 0
Súradnice vektora v báze	v = k · u1 + l · u2 + m · u3
Objem štvorstena	V = 1/6 · |(u × v) · w|
Uhol dvoch vektorov	cos α = (a · b) / (|a| · |b|)
Veľkosť vektora	|a| = √(a · a)
Skalárny súčin jednotkových vektorov	m · n = cos φ
Podmienka kolmosti	u ⊥ v ⇔ u · v = 0
Distributívnosť skalárneho súčinu	u · (v − t) = u · v − u · t
Konštanta v skalárnom súčine	u · (a · v) = a · (u · v)

Čo by mal študent pri téme vektory vedieť?

• počítať so súradnicami vektorov,
• ovládať skalárny a vektorový súčin,
• dokázať základné vlastnosti vektorových operácií,
• rozpoznať lineárne závislé a nezávislé vektory,
• overiť, či vektory tvoria bázu vektorového priestoru,
• vyjadriť súradnice vektora vzhľadom na danú bázu,
• vypočítať uhol medzi dvoma vektormi,
• využiť podmienku kolmosti u · v = 0,
• pomocou zmiešaného súčinu vypočítať objem štvorstena,
• správne vysvetliť jednotlivé kroky výpočtu aj pri ústnej maturitnej skúške.