Základné pojmy z logiky
Typ práce: Ostatné
Jazyk:
Počet zobrazení: 979
Uložení: 102
Základné pojmy z logiky
Výrok – oznamovacia veta, ktorá vyjadruje niečo, čo je buď pravdivé alebo nepravdivé (má jednoznačnú pravdivostnú hodnotu). Výroky označujeme veľkými tlačenými písmenami A, B, ..., Z
Pravdivostná hodnota výroku – P(V) = 1(pravda) alebo 0(nepravda)
Axióma – elementárne tvrdenie o vlastnostiach základných pojmov; očividné tvrdenie; P(V) = 1, nemusíme to dokazovať, platí to vždy
Hypotéza – domnienka; výrok, ktorého pravdivostnú hodnotu sme doteraz neurčili
Zložené výroky – vznikajú z jednoduchých výrokov pomocou logických spojok
Logické spojky - ∧ (a zároveň); ∨ (alebo – v nevylučovacom zmysle, v zmysle aspoň jeden); → (ak, tak); ↔ (práve vtedy, keď – obe rovnaké)
- KONJUKCIA – A ∧ B (logický súčin, pravdivostné hodnoty sa násobia)
- DISJUNKCIA (ALTERNATÍVA) - A ∨ B (logický súčet)
- IMPLIKÁCIA - A → B
- EKVIVALENCIA - A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)
Tabuľka pravdivostných hodnôt
A | B | A ∧ B | A ∨ B | A → B | A ↔ B |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
*Konjukcia je pravdivá, len ak sú oba výroky pravdivé
*Alternatíva neplatí ak sú oba výroky 0
*Implikácia neplatí, len ak je prvý pravdivý a druhý nepravdivý
*A a B sú ekvivalentné, ak platia obe implikácie A → B a B → A
Negáciavýroku V: (V’) – ku každému výroku V vieme sformulovať výrok, ktorý popiera pravdivosť tvrdenia obsiahnutého vo výroku V; popiera to, čo tvrdí výrok V (má opačnú pravdivostnú hodnotu); Nie je pravda, že V.
Negáciazložených výrokov
(A ∧ B)‘ = A‘ ∨ B‘ (A ∨ B)‘ = A‘ ∧ B‘
(A → B)‘ = A ∧ B‘ (A ↔ B)‘ = (A ∧ B‘) ∨ (B ∧ A‘)
Kvantifikované výroky – udávajú počet; obsahujú kvantifikátory
- VŠEOBECNÝ KVANTIFIKÁTOR ∀ (všetky, každý)
Každý uvažovaný objekt má vlastnosť, o ktorej hovoríme
- EXISTENČNÝ KVANTIFIKÁTOR ∃ (existuje aspoň jeden), ∃! (existuje práve jeden)
Aspoň jeden uvažovaný objekt má vlastnosť, o ktorej hovoríme
Každý je ... Aspoň jeden nie je
Aspoň dva sú ... Najviac jeden je
Práve päť ... Aspoň šesť / Najviac 4
Obmena implikácie (A → B) – (B‘ → A’), má tú istú pravdivostnú hodnoty ako tá pôvodná
Obrátená implikácia - (B → A)
Typy dôkazov
- PRIAMY DÔKAZ
Dokážeme reťazec implikácií A → T1 → T2 → T3 → ... → Tn → B. Prvý člen je už dokázané tvrdenie (axióma), každé ďalšie je logickým dôsledkom predchádzajúcich, posledný člen je dokazované tvrdenie.
- NEPRIAMY DÔKAZ
Dokážeme platnosť obmenenej vety (priamo). Týmto spôsobom dokazujeme iba vety tvaru implikácie. (A → B) – (B‘ → A’)
- DÔKAZ SPOROM
Znegujeme matematickú vetu a dokazujeme priamym dôkazom. Záver je v spore s podmienkami, alebo s matematickými tvrdeniami. Ukážeme nepravdivosť negovaného výroku a dôjdeme k sporu → pôvodný výrok teda platí.
Podobné práce | Typ práce | Rozsah | |
---|---|---|---|
Úvod do matematickej logiky | Učebné poznámky | 7 slov | |
Logika | Ostatné | 4 slov |