Teória čísel – prvočísla, zložené čísla, deliteľnosť, NSD a NSN

Teória čísel – prvočísla, zložené čísla, deliteľnosť, NSD a NSN

Podľa počtu deliteľov rozdeľujeme čísla na:

Prvočísla

• každé prirodzené číslo, ktoré má práve dvoch deliteľov, a to 1 a samo seba {2, 3, 5, 7, 11, …}

Zložené čísla

• každé prirodzené číslo, ktoré nie je prvočíslom ani číslom 1 a ktoré má aspoň 3 deliteľov, vrátane čísla 1

Prvočíselný rozklad

• každé prirodzené číslo vieme zapísať ako súčin prvočísiel
• n = p₁^a1 . p₂^a2 . p₃^a3 ... p_k^pk, k∈N, a_k∈N, p_k – prvočísla
• každé zložené číslo sa dá zapísať ako súčin prvočísel

Deliteľnosť

• číslo a je deliteľom čísla b, ak po delení čísla b číslom a dostaneme prirodzené číslo,
• číslo a je násobkom čísla b, ak existuje také prirodzené číslo k, že a=b, k∈Z
• ak číslo anie je násobkom čísla b, platí a=p+q, kde p je N alebo nula a q je zvyšok
• spoločný deliteľ – delí obe čísla bezozvyšku
• spoločný násobok – číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami – je násobkom oboch

Najväčší spoločný deliteľ(NSD): D(a,b)

• najväčšie možné číslo, ktoré delí číslo a a b
• vypočítame ho tak, že dané čísla rozložíme na súčin prvočísel a z týchto rozkladov vyberieme tie prvočísla, ktoré sa súčasne nachádzajú vo všetkých rozkladoch, a to s takou mocninou, ktorá sa vyskytuje v oboch rozkladoch alebo Euklidovim algoritmom

Najmenší spoločný násobok(nsn): n(a,b)

• najmenšie číslo, ktoré je deliteľné číslom a aj číslom b
• vypočítame ho tak, že dané čísla rozložíme na súčin prvočísel a vyberieme všetky prvočísla, ktoré sa vyskytujú aspoň v jednom rozklade, a to s najväčšou mocninou

Súdeliteľnosť a nesúdeliteľnosť

• čísla a, b sú súdeliteľné práve vtedy, keď majú nejakého spoločného deliteľa rôzneho od 1
• nesúdeliteľné čísla sú také, ktoré okrem 1 nemajú žiadneho spoločného deliteľa

• platí a.b = D(a,b).n(a,b)

Kritériá deliteľnosti