Prirodzené čísla a číselné množiny

Prirodzené čísla a číselné množiny

Prirodzené čísla používame najmä na vyjadrenie počtu prvkov, poradia alebo množstva. V týchto poznámkach budeme za prirodzené čísla považovať kladné celé čísla:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Prvočísla

Prvočíslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré má práve dvoch kladných deliteľov:

• číslo 1,
• samotné číslo.

Medzi prvočísla nepatrí 0 ani 1.

Príklady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Príklad: Číslo 7 má iba deliteľov 1 a 7, preto je prvočíslom.

Zložené čísla

Zložené číslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré má viac ako dva kladné delitele.

Príklady:

• 4 má delitele 1, 2, 4,
• 6 má delitele 1, 2, 3, 6,
• 12 má delitele 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Každé zložené číslo môžeme zapísať ako súčin prvočísel. Takýto zápis nazývame prvočíselný alebo kanonický rozklad čísla.

Príklad:

60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5

Deliteľnosť prirodzených čísel

Pri určovaní deliteľnosti nemusíme vždy vykonávať samotné delenie. Môžeme použiť jednoduché znaky deliteľnosti.

Znaky deliteľnosti

• Deliteľnosť číslom 2: číslo je deliteľné 2, ak jeho posledná cifra je 0, 2, 4, 6 alebo 8.
• Deliteľnosť číslom 3: číslo je deliteľné 3, ak je jeho ciferný súčet deliteľný 3.
• Deliteľnosť číslom 4: číslo je deliteľné 4, ak je číslo vytvorené jeho poslednými dvoma ciframi deliteľné 4.
• Deliteľnosť číslom 5: číslo je deliteľné 5, ak sa končí číslicou 0 alebo 5.
• Deliteľnosť číslom 6: číslo je deliteľné 6, ak je súčasne deliteľné 2 aj 3.
• Deliteľnosť číslom 8: číslo je deliteľné 8, ak je číslo vytvorené jeho poslednými troma ciframi deliteľné 8.
• Deliteľnosť číslom 9: číslo je deliteľné 9, ak je jeho ciferný súčet deliteľný 9.
• Deliteľnosť číslom 10: číslo je deliteľné 10, ak sa končí číslicou 0.

Príklady deliteľnosti

Číslo 234:

• je deliteľné 2, pretože sa končí číslicou 4,
• je deliteľné 3, pretože 2 + 3 + 4 = 9 a číslo 9 je deliteľné 3,
• je teda deliteľné aj 6.

Číslo 1 125: je deliteľné 5, pretože sa končí číslicou 5. Zároveň je deliteľné 9, pretože 1 + 1 + 2 + 5 = 9.

Nesúdeliteľné čísla

Dve prirodzené čísla nazývame nesúdeliteľné, ak je ich jediným spoločným kladným deliteľom číslo 1.

Inými slovami, ich najväčší spoločný deliteľ je 1.

Príklad: Čísla 8 a 15 sú nesúdeliteľné.

Delitele čísla 8 sú: 1, 2, 4, 8.
Delitele čísla 15 sú: 1, 3, 5, 15.

Ich jediným spoločným deliteľom je 1.

Počet deliteľov prirodzeného čísla

Počet kladných deliteľov čísla môžeme jednoducho určiť z jeho prvočíselného rozkladu.

Ak platí:

n = p₁^a · p₂^b · p₃^c,

potom počet jeho deliteľov vypočítame:

(a + 1) · (b + 1) · (c + 1)

Príklad:

72 = 2³ · 3²

Počet deliteľov:

(3 + 1) · (2 + 1) = 4 · 3 = 12

Číslo 72 má teda 12 kladných deliteľov.

Najmenší spoločný násobok

Najmenší spoločný násobok dvoch čísel m a n je najmenšie nenulové prirodzené číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami.

Označujeme ho napríklad:

NSN(m, n)

Výpočet pomocou prvočíselného rozkladu

Obe čísla rozložíme na prvočísla a z jednotlivých prvočísel použijeme najvyššiu mocninu, ktorá sa v rozkladoch nachádza.

Príklad:

12 = 2² · 3
18 = 2 · 3²

Vyberieme:

2² a 3²

NSN(12, 18) = 2² · 3² = 4 · 9 = 36

Najväčší spoločný deliteľ

Najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel m a n je najväčšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľom oboch čísel.

Označujeme ho napríklad:

NSD(m, n)

Výpočet pomocou prvočíselného rozkladu

Obe čísla rozložíme na prvočísla. Vyberieme iba prvočísla, ktoré sa nachádzajú v oboch rozkladoch, pričom použijeme ich najnižšie mocniny.

Príklad:

12 = 2² · 3
18 = 2 · 3²

Spoločné prvočísla sú 2 a 3. Použijeme ich nižšie mocniny:

NSD(12, 18) = 2 · 3 = 6

Číselné množiny

Prirodzené čísla – N

Prirodzené čísla sú:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Celé čísla – Z

Množina celých čísel obsahuje záporné celé čísla, nulu aj kladné celé čísla:

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Racionálne čísla – Q

Racionálne číslo je číslo, ktoré môžeme zapísať v tvare zlomku:

a / b, kde a, b sú celé čísla a b ≠ 0.

Príklady: 0, 1, −3,58, 1/2.

Medzi racionálne čísla patria celé čísla, zlomky aj desatinné čísla s konečným alebo periodickým desatinným rozvojom.

Iracionálne čísla – I

Iracionálne čísla nemožno zapísať ako podiel dvoch celých čísel.

Majú nekonečný neperiodický desatinný rozvoj.

Príklady: √3, 3√5, π.

Reálne čísla – R

Reálne čísla tvoria všetky racionálne aj iracionálne čísla.

R = Q ∪ I

Vlastnosti počtových operácií

Komutatívny zákon

Pri sčítaní a násobení môžeme zameniť poradie čísel bez toho, aby sa zmenil výsledok.

a + b = b + a

a · b = b · a

Príklad: 3 + 5 = 5 + 3 = 8.

Asociatívny zákon

Pri sčítaní a násobení môžeme meniť spôsob zoskupenia čísel.

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b) · c = a · (b · c)

Príklad: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9.

Distributívny zákon

Násobenie môžeme rozdeliť cez súčet alebo rozdiel:

(a + b) · c = a · c + b · c

(a − b) · c = a · c − b · c

Pri delení jednotlivých členov rozdielu rovnakým nenulovým číslom platí:

(a − b) / c = a / c − b / c, pričom c ≠ 0.

Neutrálny prvok

Neutrálny prvok je číslo, ktoré pri danej operácii nezmení hodnotu druhého čísla.

Pre sčítanie je neutrálnym prvkom 0:

a + 0 = a

Pre násobenie je neutrálnym prvkom 1:

a · 1 = a

Absolútna hodnota reálneho čísla

Absolútna hodnota reálneho čísla vyjadruje jeho vzdialenosť od nuly na číselnej osi.

Absolútnu hodnotu čísla a zapisujeme:

|a|

Platí:

ak a ≥ 0, potom |a| = a

ak a < 0, potom |a| = −a

Príklady absolútnej hodnoty

• |5| = 5
• |−5| = 5
• |0| = 0
• |−12| = 12

Absolútna hodnota je vždy nezáporné číslo, pretože vzdialenosť nemôže byť záporná.