Rovnice a nerovnice

Rovnice a nerovnice – riešenie, úpravy, definičný obor a obor pravdivosti

Rovnice a nerovnice patria medzi základné algebraické úlohy. Pri ich riešení hľadáme hodnoty neznámych, pre ktoré je daná rovnosť alebo nerovnosť pravdivá.

Rovnica

Rovnica je zapísaná rovnosť dvoch výrazov, ktorá obsahuje aspoň jednu neznámu.

Napríklad:

2x + 3 = 9

Neznámou je v tomto prípade číslo x. Úlohou je zistiť, akú hodnotu musí mať x, aby bola rovnosť pravdivá.

Riešenie rovnice

Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky hodnoty neznámej, ktoré po dosadení do rovnice spôsobia, že ľavá a pravá strana rovnice majú rovnakú hodnotu.

• riešenie rovnice = koreň rovnice,
• koreň rovnice = hodnota neznámej, ktorá rovnici vyhovuje.

Príklad:

x + 4 = 7

Od oboch strán odčítame číslo 4:

x = 3

Skúška:

3 + 4 = 7

Keďže vznikla pravdivá rovnosť, číslo 3 je koreňom rovnice.

Lineárna rovnica s jednou neznámou

Lineárna rovnica s jednou neznámou má základný tvar:

ax + b = 0

alebo ju možno pomocou algebraických úprav na tento tvar upraviť.

Označenie

• a, b ∈ ℝ – reálne čísla, ktoré predstavujú koeficienty rovnice,
• x – premenná, teda neznáma,
• a – koeficient pri neznámej x,
• b – konštantný člen.

Pri riešení hľadáme takú hodnotu premennej x, aby po jej dosadení vznikla pravdivá rovnosť.

1. Prípad: a ≠ 0

Ak platí a ≠ 0, lineárna rovnica má v obore reálnych čísel práve jeden koreň.

Z rovnice:

ax + b = 0

dostaneme:

ax = −b

a následne:

x = −b / a

Príklad:

2x + 6 = 0

2x = −6

x = −3

Rovnica má jediný koreň:

K = {−3}

2. Prípad: a = 0 a b ≠ 0

Ak platí a = 0 a zároveň b ≠ 0, dostaneme rovnicu typu:

0 · x + b = 0

Napríklad:

0 · x + 5 = 0

teda:

5 = 0

Takýto výrok nie je pravdivý pre žiadne reálne číslo. Rovnica preto nemá riešenie.

K = ∅

3. Prípad: a = 0 a b = 0

Ak platí a = 0 a zároveň b = 0, dostaneme:

0 · x + 0 = 0

teda:

0 = 0

Tento výrok je pravdivý pre každé reálne číslo. Riešením sú preto všetky reálne čísla.

K = ℝ

Úpravy rovníc

Pri riešení rovníc používame najmä ekvivalentné a dôsledkové úpravy.

Ekvivalentné úpravy

Ekvivalentné úpravy nemenia množinu riešení rovnice. Pôvodná a upravená rovnica majú rovnaké riešenia.

Medzi základné ekvivalentné úpravy patria:

1. pripočítanie rovnakého výrazu k obom stranám rovnice,
2. odpočítanie rovnakého výrazu od oboch strán rovnice,
3. vynásobenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom alebo výrazom,
4. vydelenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom alebo výrazom,
5. výmena ľavej a pravej strany rovnice.

Príklad:

3x + 5 = 17

Od oboch strán odčítame 5:

3x = 12

Obe strany vydelíme číslom 3:

x = 4

Dôsledkové úpravy

Pri dôsledkových úpravách môže vzniknúť riešenie, ktoré pôvodnej rovnici nevyhovuje. Preto je potrebné venovať pozornosť podmienkam a často vykonať aj skúšku správnosti.

Medzi dôsledkové úpravy patria napríklad:

• umocnenie oboch strán rovnice,
• odmocnenie,
• logaritmovanie.

Pri týchto úpravách je potrebné určiť podmienky alebo výsledné riešenia overiť dosadením do pôvodnej rovnice.

Skúška správnosti

Skúška slúži na overenie, či vypočítaná hodnota skutočne patrí medzi riešenia pôvodnej rovnice.

Vypočítanú hodnotu dosadíme namiesto neznámej do pôvodného zadania a vypočítame zvlášť ľavú a pravú stranu.

Ak platí:

ľavá strana = pravá strana,

riešenie je správne.

Nerovnica

Nerovnica je algebraická úloha, pri ktorej hľadáme všetky čísla z určenej množiny, pre ktoré je daná nerovnosť pravdivá.

V nerovniciach sa najčastejšie používajú znaky:

• < – menšie ako,
• > – väčšie ako,
• ≤ – menšie alebo rovné,
• ≥ – väčšie alebo rovné.

Príklad:

x + 2 < 5

Od oboch strán odčítame číslo 2:

x < 3

Riešením teda nie je iba jedno číslo, ale všetky reálne čísla menšie ako 3.

Riešenie lineárnej nerovnice

Riešením lineárnej nerovnice môže byť:

• interval,
• prázdna množina ∅,
• množina všetkých reálnych čísel ℝ.

Podľa toho, či hraničný bod patrí alebo nepatrí do riešenia, môže byť interval otvorený, uzavretý alebo polouzavretý.

Dôležité pravidlo pri riešení nerovníc

Pri sčítaní alebo odčítaní rovnakého čísla na oboch stranách sa znak nerovnosti nemení.

Ak však obe strany nerovnice násobíme alebo delíme záporným číslom, znak nerovnosti musíme obrátiť.

Napríklad:

−2x > 6

Obe strany vydelíme číslom −2:

x < −3

Znak > sa zmenil na <.

Obor premennej

Obor premennej je množina čísel, v ktorej danú rovnicu alebo nerovnicu riešime.

Ak nie je uvedené inak, pri bežných algebraických úlohách sa často pracuje v obore reálnych čísel:

x ∈ ℝ

Definičný obor

Definičný obor je podmnožina oboru premennej obsahujúca iba tie hodnoty, pre ktoré sú všetky výrazy v rovnici alebo nerovnici definované.

Označujeme ho:

D

Pri určovaní definičného oboru si musíme všímať najmä výrazy, pri ktorých existujú obmedzenia.

Napríklad pri zlomku:

1 / (x − 2)

nesmie byť menovateľ rovný nule:

x − 2 ≠ 0

x ≠ 2

Preto číslo 2 do definičného oboru nepatrí.

Obor pravdivosti

Obor pravdivosti je podmnožina definičného oboru obsahujúca tie hodnoty premennej, pre ktoré sa rovnica alebo nerovnica stáva pravdivým výrokom.

Označujeme ho:

P

Obor pravdivosti teda predstavuje množinu všetkých hodnôt, ktoré danú rovnicu alebo nerovnicu skutočne spĺňajú.

Prehľad základných pojmov

Najdôležitejšie pravidlá na zapamätanie

• Riešením rovnice je hodnota, ktorá po dosadení vytvorí pravdivú rovnosť.
• Lineárna rovnica má základný tvar ax + b = 0.
• Ak a ≠ 0, rovnica má jeden koreň x = −b/a.
• Ak a = 0 a b ≠ 0, rovnica nemá riešenie.
• Ak a = 0 a b = 0, riešením sú všetky reálne čísla.
• Ekvivalentné úpravy nemenia množinu riešení.
• Pri dôsledkových úpravách treba venovať pozornosť podmienkam a skúške.
• Riešením nerovnice je spravidla množina čísel, najčastejšie interval.
• Pri násobení alebo delení nerovnice záporným číslom sa znak nerovnosti obráti.
• Každé riešenie musí patriť do definičného oboru.