Vzájomná poloha priamok a rovín v stereometrii

Vzájomná poloha priamok a rovín v stereometrii

V stereometrii skúmame geometrické útvary v priestore. Pri riešení úloh je dôležité vedieť určiť, akú vzájomnú polohu môžu mať dve priamky, priamka a rovina, dve roviny alebo tri roviny.

Podľa počtu spoločných bodov a ich usporiadania rozlišujeme niekoľko základných prípadov. Pri niektorých polohách používame aj kritériá rovnobežnosti, pomocou ktorých môžeme rovnobežnosť dokázať.

Vzájomná poloha dvoch priamok

Dve priamky v priestore môžu byť rovnobežné, rôznobežné, mimobežné alebo totožné.

Vzájomná poloha	Charakteristika	Počet spoločných bodov
Rovnobežné priamky	Ležia v jednej rovine a nepretínajú sa.	0
Rôznobežné priamky	Ležia v jednej rovine a pretínajú sa v jednom bode.	1
Mimobežné priamky	Neležia v jednej rovine a nepretínajú sa.	0
Totožné priamky	Splývajú – ide o tú istú priamku.	Nekonečne veľa

1. Rovnobežné priamky

Dve priamky sú rovnobežné, ak ležia v jednej rovine a nemajú žiadny spoločný bod.

Rovnobežné priamky majú rovnaký smer a ani po ľubovoľnom predĺžení sa nepretnú.

Označenie:

p ∥ q

2. Rôznobežné priamky

Dve priamky sú rôznobežné, ak ležia v jednej rovine a majú práve jeden spoločný bod.

Tento spoločný bod nazývame priesečník priamok.

Ak sa napríklad priamky p a q pretínajú v bode P, potom platí:

p ∩ q = {P}

3. Mimobežné priamky

Mimobežné priamky sú špecifické pre priestor. Neležia v jednej rovine a zároveň nemajú žiadny spoločný bod.

Práve tým sa odlišujú od rovnobežných priamok. Rovnobežné priamky síce tiež nemajú spoločný bod, ale vždy sa nachádzajú v jednej rovine.

Zapamätajte si: mimobežné priamky sa nepretínajú, ale nie sú rovnobežné.

4. Totožné priamky

Dve priamky sú totožné, ak úplne splývajú. Majú všetky svoje body spoločné, teda nekonečne veľa spoločných bodov.

Ak sú priamky p a q totožné, môžeme zapísať:

p = q

Ako rozlíšiť polohu dvoch priamok?

• Ak majú jeden spoločný bod → sú rôznobežné.
• Ak majú nekonečne veľa spoločných bodov → sú totožné.
• Ak nemajú spoločný bod a ležia v jednej rovine → sú rovnobežné.
• Ak nemajú spoločný bod a neležia v jednej rovine → sú mimobežné.

Vzájomná poloha priamky a roviny

Priamka a rovina môžu mať tri základné vzájomné polohy:

Vzájomná poloha	Charakteristika	Počet spoločných bodov
Priamka je rovnobežná s rovinou	Priamka nemá s rovinou žiadny spoločný bod.	0
Priamka je rôznobežná s rovinou	Priamka pretína rovinu v jednom bode.	1
Priamka leží v rovine	Všetky body priamky patria rovine.	Nekonečne veľa

1. Priamka je rovnobežná s rovinou

Priamka je rovnobežná s rovinou, ak s ňou nemá žiadny spoločný bod.

Označenie:

p ∥ α

Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny

Ak priamka neleží v danej rovine a je rovnobežná s určitou priamkou, ktorá v tejto rovine leží, potom je daná priamka rovnobežná s rovinou.

Inými slovami: ak v rovine nájdeme aspoň jednu priamku, ktorá má rovnaký smer ako daná priamka mimo roviny, môžeme túto vlastnosť využiť pri dokazovaní ich rovnobežnosti.

2. Priamka je rôznobežná s rovinou

Priamka je rôznobežná s rovinou, ak majú práve jeden spoločný bod.

Tento bod nazývame priesečník priamky a roviny.

Ak priamka p pretína rovinu α v bode P, platí:

p ∩ α = {P}

3. Priamka leží v rovine

Ak všetky body priamky patria rovine, hovoríme, že priamka leží v rovine.

Priamka a rovina majú v tomto prípade nekonečne veľa spoločných bodov.

Označenie:

p ⊂ α

Vzájomná poloha dvoch rovín

Dve roviny môžu byť rovnobežné, rôznobežné alebo totožné.

Vzájomná poloha	Charakteristika	Spoločné body
Rovnobežné roviny	Roviny sa nepretínajú.	Žiadne
Rôznobežné roviny	Roviny sa pretínajú v priamke.	Spoločná priamka
Totožné roviny	Roviny úplne splývajú.	Všetky body

1. Rovnobežné roviny

Dve rôzne roviny sú rovnobežné, ak nemajú žiadny spoločný bod.

Označenie:

α ∥ β

Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín

Ak jedna rovina obsahuje dve rôznobežné priamky, pričom obe tieto priamky sú rovnobežné s druhou rovinou, potom sú dané dve roviny rovnobežné.

Dôležité je, aby išlo o dve rôznobežné priamky. Jedna priamka sama osebe na určenie smeru celej roviny nestačí.

2. Rôznobežné roviny

Dve roviny sú rôznobežné, ak sa pretínajú.

Ich spoločné body vytvárajú priamku, ktorú nazývame priesečnica rovín.

Ak sa roviny α a β pretínajú v priamke p, platí:

α ∩ β = p

3. Totožné roviny

Dve roviny sú totožné, ak úplne splývajú a majú všetky body spoločné.

Označenie:

α = β

Vzájomná poloha troch rovín

Pri troch rovinách vzniká viac možností. Sledujeme najmä to, či sú roviny rovnobežné, či sa navzájom pretínajú a či majú spoločný bod alebo spoločnú priamku.

Prípad	Vzájomná poloha	Spoločná časť troch rovín
1.	Tri rovnobežné roviny	Žiadna
2.	Dve roviny rovnobežné a tretia rôznobežná	Žiadna
3.	Tri rôznobežné roviny – „strecha“	Žiadna
4.	Tri rôznobežné roviny – „roh“	Jeden bod
5.	Tri rôznobežné roviny – „zväzok rovín“	Jedna priamka

1. Tri rovnobežné roviny

Všetky tri roviny sú navzájom rovnobežné. Nemajú spoločný bod a žiadne dve z nich sa nepretínajú.

Pre každú dvojicu rovín platí kritérium rovnobežnosti dvoch rovín.

2. Dve roviny sú rovnobežné a tretia je rôznobežná

Dve roviny sú navzájom rovnobežné a tretia rovina pretína obe z nich.

Pritom vzniknú dve priesečnice. Tieto priesečnice sú navzájom rovnobežné.

Ak teda platí α ∥ β a tretia rovina γ pretína obe roviny, potom priesečnice

α ∩ γ a β ∩ γ

sú rovnobežné priamky.

3. Tri rôznobežné roviny – „strecha“

Všetky tri roviny sa po dvojiciach pretínajú, ale nemajú jeden spoločný bod ani jednu spoločnú priamku.

Ich tri priesečnice sú navzájom rovnobežné a rôzne.

Toto usporiadanie pripomína jednotlivé časti strechy, preto sa v poznámkach označuje ako „strecha“.

4. Tri rôznobežné roviny – „roh“

Tri roviny sa navzájom pretínajú a majú práve jeden spoločný bod.

Ich priesečnice sa stretávajú v tomto jednom bode. Situáciu si môžeme predstaviť ako roh miestnosti, v ktorom sa stretávajú tri steny.

Spoločná časť troch rovín je teda:

α ∩ β ∩ γ = {P}

5. Tri rôznobežné roviny – „zväzok rovín“

Všetky tri roviny majú spoločnú jednu priamku.

Každá z troch rovín obsahuje tú istú priamku, ktorá je ich spoločnou priesečnicou.

Takéto usporiadanie nazývame zväzok rovín.

Najdôležitejšie pojmy

• Priesečník – spoločný bod dvoch priamok alebo priamky a roviny.
• Priesečnica – spoločná priamka dvoch rôznobežných rovín.
• Rovnobežnosť – geometrické útvary sa nepretínajú a zachovávajú príslušný spoločný smer.
• Mimobežné priamky – priamky, ktoré neležia v jednej rovine a nepretínajú sa.
• Totožné útvary – útvary, ktoré úplne splývajú a majú všetky body spoločné.

Rýchly prehľad podľa počtu spoločných bodov

Geometrické útvary	0 spoločných bodov	1 spoločný bod	Nekonečne veľa spoločných bodov
Dve priamky	Rovnobežné alebo mimobežné	Rôznobežné	Totožné
Priamka a rovina	Rovnobežné	Rôznobežné	Priamka leží v rovine
Dve roviny	Rovnobežné	–	Rôznobežné majú spoločnú priamku; totožné majú spoločné všetky body