Výroky – Teória

Výroky – Teória

Vypracovanú maturitnú tému si môžeš pozrieť v dokumente PDF kliknutím na nasledujúci odkaz: Výroky

Doporučujeme pozrieť aj iné vypracované témy na https://zmaturuj.zones.sk/vypracovane-maturitne-temy/

Výroky – pravdivostná hodnota, logické operácie a kvantifikátory

Matematické poznatky často formulujeme v podobe výrokov. Výroky nám umožňujú presne vyjadriť tvrdenia a rozhodovať o ich pravdivosti.

Výrok

Výrok je oznamovacia veta, ktorou sa vyjadruje tvrdenie, ktoré je buď pravdivé, alebo nepravdivé.

Výroky označujeme veľkými tlačenými písmenami abecedy:

A, B, C, ..., Z

Príklad:

V: „Paríž je hlavným mestom Talianska.“

Tento výrok je nepravdivý, preto:

P(V) = 0

Pravdivostná hodnota výroku

Pravdivostná hodnota vyjadruje, či je daný výrok pravdivý alebo nepravdivý.

• pravdivý výrok: P(V) = 1,
• nepravdivý výrok: P(V) = 0.

Pravdivostnú hodnotu výroku V teda zapisujeme symbolom P(V).

Pravdivostná hodnota	Význam
1	Výrok je pravdivý.
0	Výrok je nepravdivý.

Hypotéza

Hypotéza je výrok, ktorého pravdivostnú hodnotu sme zatiaľ neurčili.

Inými slovami ide o domnienku, pri ktorej ešte nevieme, či je pravdivá alebo nepravdivá.

Príklad:

„Na Marse je život.“

Axióma

Axióma je elementárne tvrdenie o vlastnostiach základných pojmov, ktoré považujeme za očividné.

Axiómy sa nedokazujú a považujeme ich za pravdivé.

Platí teda:

P(V) = 1

Príklad:

„Priamky, ktoré sú navzájom rovnobežné, sa nepretínajú.“

Operácie s výrokmi

Z jednoduchých výrokov môžeme pomocou logických spojok vytvárať nové, zložené výroky.

Medzi základné logické spojky patria:

Operácia	Symbol	Slovné vyjadrenie
Negácia	V′	nie je pravda, že...
Konjunkcia	∧	a
Disjunkcia / alternatíva	∨	alebo
Implikácia	⇒	ak – tak
Ekvivalencia	⇔	práve vtedy, keď

Negácia výroku

Negácia výroku je výrok, ktorý popiera pravdivosť tvrdenia obsiahnutého v pôvodnom výroku.

Negáciu výroku V označujeme:

V′

Príklad:

• V: „Dnes ráno pršalo.“
• V′: „Nie je pravda, že dnes ráno pršalo.“
• V′: „Dnes ráno nepršalo.“

Ako správne negovať výroky?

Pri negácii musíme poprieť celý pôvodný výrok. Nestačí ho iba nahradiť iným tvrdením.

Príklad:

• B: „Mám červený sveter.“
• B′: „Nemám červený sveter.“ – správna negácia
• „Mám modrý sveter.“ – nie je správna negácia

Ak totiž nemáme červený sveter, nemusíme mať práve modrý. Môže mať akúkoľvek inú farbu.

Negácie výrokov s počtom

Výrok	Negácia
Každý ... je ...	Aspoň jeden ... nie je ...
Aspoň jeden ... je ...	Ani jeden (žiaden, nijaký) ... nie je ...
Aspoň dva sú ...	Najviac jeden je ...
Aspoň tri sú ...	Najviac dva sú ...

Príklady:

V: „Bolo nás najmenej 15.“

V′: „Bolo nás najviac 14.“

A: „Mám aspoň 4 perá.“

A′: „Mám najviac 3 perá.“

F: „Mám práve 7 pier.“

F′: „Mám najviac 6 alebo aspoň 8 pier.“

Dvojitá negácia

Ak negovaný výrok znegujeme ešte raz, dostaneme pôvodný výrok:

(V′)′ = V

Pre každý výrok V a jeho negáciu V′ platí:

P(V′) = 1 – P(V)

Výrok a jeho negácia teda majú vždy opačné pravdivostné hodnoty.

Správne vytvorenie negácie je dôležité napríklad pri dokazovaní tvrdení sporom.

Konjunkcia

Konjunkcia je zložený výrok vytvorený spojením dvoch výrokov pomocou spojky „a“.

Zapisujeme:

A ∧ B

Čítame:

„A a B“

Príklad:

„Mrzne a sneží.“

Konjunkcia je pravdivá iba vtedy, keď sú oba čiastkové výroky pravdivé.

Disjunkcia – alternatíva

Disjunkcia, nazývaná aj alternatíva, je zložený výrok vytvorený pomocou spojky „alebo“.

Zapisujeme:

A ∨ B

Čítame:

„A alebo B“

Príklad:

„Prší alebo padá sneh.“

Disjunkcia je pravdivá, ak je aspoň jeden z výrokov A alebo B pravdivý.

Implikácia

Implikácia je zložený výrok v tvare:

„Ak A, tak B.“

Zapisujeme:

A ⇒ B

Príklad:

„Ak mi nepomôžeš, tak si ma nepraj.“

Obmena implikácie

Pre implikáciu platí:

(A ⇒ B) ⇔ (B′ ⇒ A′)

Výrok B′ ⇒ A′ nazývame obmena implikácie.

Pri obmene sa poradie výrokov vymení a oba výroky sa zároveň znegujú.

Obrátená implikácia

K implikácii:

A ⇒ B

môžeme vytvoriť obrátenú implikáciu:

B ⇒ A

Pri obrátenej implikácii sa iba vymení poradie výrokov.

Ekvivalencia

Ekvivalencia je zložený výrok v tvare:

„A práve vtedy, keď B.“

Zapisujeme:

A ⇔ B

Príklad:

„Šunku kúpim práve vtedy, keď nedostanem salámu.“

Ekvivalenciu môžeme vyjadriť pomocou dvoch implikácií:

(A ⇔ B) ⇔ [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)]

Výroky A a B sú teda ekvivalentné vtedy, keď platí implikácia v oboch smeroch.

Tabuľka pravdivostných hodnôt

P(A)	P(B)	P(A ∧ B)	P(A ∨ B)	P(A ⇒ B)	P(A ⇔ B)
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

Ako čítať pravdivostnú tabuľku?

• A ∧ B je pravdivé iba vtedy, keď A = 1 a B = 1.
• A ∨ B je nepravdivé iba vtedy, keď A = 0 a B = 0.
• A ⇒ B je nepravdivé iba vtedy, keď A = 1 a B = 0.
• A ⇔ B je pravdivé vtedy, keď majú A a B rovnakú pravdivostnú hodnotu.

Negácia zložených výrokov

Pri negovaní zložených výrokov používame najmä De Morganove pravidlá.

De Morganove pravidlá

(A ∧ B)′ ⇔ (A′ ∨ B′)

Negácia konjunkcie znamená, že aspoň jeden z pôvodných výrokov neplatí.

(A ∨ B)′ ⇔ (A′ ∧ B′)

Negácia disjunkcie znamená, že neplatí ani jeden z pôvodných výrokov.

Negácia implikácie

Pre negáciu implikácie platí:

(A ⇒ B)′ ⇔ (A ∧ B′)

Implikácia je teda nepravdivá práve vtedy, keď A platí a B neplatí.

Negácia ekvivalencie

Pre negáciu ekvivalencie platí:

(A ⇔ B)′ ⇔ [(A ∧ B′) ∨ (B ∧ A′)]

Negácia ekvivalencie teda nastáva vtedy, keď majú výroky A a B rozdielne pravdivostné hodnoty.

Tautológia

Tautológia je výrok, ktorého pravdivostná hodnota je vždy 1.

Ide teda o výrok, ktorý je vždy pravdivý, bez ohľadu na pravdivostné hodnoty jeho čiastkových výrokov.

Kontradikcia

Kontradikcia je výrok, ktorý je vždy nepravdivý.

Kvantifikované výroky

Kvantifikovaný výrok je každý výrok, ktorý obsahuje kvantifikátor.

Používame dva základné kvantifikátory:

• existenčný kvantifikátor ∃ – „existuje“,
• všeobecný kvantifikátor ∀ – „pre všetky“, „pre každý“.

Existenčný kvantifikátor – ∃

Existenčný kvantifikátor vyjadruje, že existuje aspoň jeden prvok, pre ktorý dané tvrdenie platí.

Príklad:

V: ∃ x ∈ ℕ; x > 1

Čítame: „Existuje prirodzené číslo x, ktoré je väčšie ako 1.“

Negácia:

V′: ∀ x ∈ ℕ; x ≤ 1

Všeobecný kvantifikátor – ∀

Všeobecný kvantifikátor vyjadruje, že tvrdenie platí pre každý prvok danej množiny.

Príklad:

V: ∀ x ∈ ℝ; x² + 1 > 0

Čítame: „Pre každé reálne číslo x platí, že x² + 1 je väčšie ako 0.“

Negácia:

V′: ∃ x ∈ ℝ; x² + 1 ≤ 0

Najdôležitejšie pravidlá na zapamätanie

• Výrok je oznamovacia veta, ktorá je pravdivá alebo nepravdivá.
• P(V) = 1 znamená pravdivý výrok a P(V) = 0 nepravdivý výrok.
• Hypotéza je domnienka, ktorej pravdivostnú hodnotu ešte nepoznáme.
• Axióma je tvrdenie, ktoré považujeme za pravdivé a nedokazujeme ho.
• V′ označuje negáciu výroku V.
• Platí (V′)′ = V.
• Platí P(V′) = 1 – P(V).
• A ∧ B znamená „A a B“.
• A ∨ B znamená „A alebo B“.
• A ⇒ B znamená „ak A, tak B“.
• A ⇔ B znamená „A práve vtedy, keď B“.
• Obmena implikácie A ⇒ B má tvar B′ ⇒ A′.
• Obrátená implikácia A ⇒ B má tvar B ⇒ A.
• Tautológia je vždy pravdivá.
• Kontradikcia je vždy nepravdivá.
• ∃ znamená „existuje“.
• ∀ znamená „pre všetky“ alebo „pre každý“.