Aritmetická postupnosť – Teória

Aritmetická postupnosť – Teória

Vypracovanú maturitnú tému si môžeš pozrieť v dokumente PDF kliknutím na nasledujúci odkaz: Aritmetická postupnosť. Doporučujeme pozrieť aj iné vypracované témy na https://zmaturuj.zones.sk/vypracovane-maturitne-temy/

Aritmetická postupnosť – Teória

Aritmetická postupnosť je číselná postupnosť, v ktorej sa každý ďalší člen líši od predchádzajúceho o stále rovnaké číslo. Toto číslo nazývame diferencia a označujeme ho písmenom d.

Príklady aritmetických postupností

• 3, 5, 7, 9, …
  rozdiel medzi členmi je 2
• −2, −3/2, −1, −1/2, …
  rozdiel medzi členmi je 1/2

Základná definícia aritmetickej postupnosti

Postupnosť nazývame aritmetická vtedy, ak platí, že:

• každý ďalší člen vznikne tak, že k predchádzajúcemu členovi pripočítame diferenciu

Jednoduchý zápis:

• a(n+1) = a(n) + d

Vlastnosť aritmetickej postupnosti

Pre každý člen aritmetickej postupnosti (okrem prvého) platí, že:

• daný člen je aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho člena

Jednoducho zapísané:

• a(n) = (a(n−1) + a(n+1)) / 2

Vzorec pre n-ty člen aritmetickej postupnosti

Ak poznáme prvý člen a1 a diferenciou je d, potom n-ty člen vypočítame:

• a(n) = a1 + (n − 1) · d

Z tohto vzorca vyplýva:

• a2 = a1 + d
• a3 = a1 + 2·d
• a4 = a1 + 3·d

Vzťah medzi dvoma ľubovoľnými členmi

Ak poznáme jeden člen postupnosti a chceme vypočítať iný člen, použijeme:

• a(r) = a(s) + (r − s) · d

Tento vzorec je užitočný v úlohách, kde nepoznáme prvý člen.

Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti

Súčet prvých n členov označujeme ako S(n) a platí:

• S(n) = n / 2 · (a1 + a(n))

Tento vzorec sa často používa pri slovných úlohách.

Diferencia a typ aritmetickej postupnosti

Podľa hodnoty diferencie rozlišujeme:

• d = 0
  postupnosť je stacionárna
  príklad: a(n) = 3
• d > 0
  postupnosť je rastúca
  príklad: a(n) = 2·n − 1
• d < 0
  postupnosť je klesajúca
  príklad:
  a1 = 5
  a(n+1) = a(n) − 2

Graf aritmetickej postupnosti

Graf aritmetickej postupnosti tvorí:

• množina izolovaných bodov
• body ležia na jednej priamke
• jednotlivé body nie sú spojené čiarou

Zhrnutie učiva

• aritmetická postupnosť má stálu diferenciu
• každý člen vzniká pripočítaním diferencie
• n-ty člen:
  a(n) = a1 + (n − 1) · d
• súčet prvých n členov:
  S(n) = n / 2 · (a1 + a(n))