Štatistika – Teória

Štatistika – Teória

Štatistika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá skúmaním, opisovaním a vyhodnocovaním javov v spoločnosti. Pomáha nám spracovať veľké množstvo údajov, vytvárať prehľadné tabuľky, grafy a vypočítať charakteristiky, ktoré opisujú správanie sledovaného súboru.

Základné pojmy

Štatistický súbor

Je to neprázdna konečná množina prvkov M.
Príklad: všetci žiaci triedy 1.A.

Rozsah štatistického súboru

Označuje počet prvkov súboru M.
Zapisujeme: |M| = n
Príklad: n = 20 žiakov.

Štatistický znak

Funkcia, ktorá každému prvku súboru priradí jedno reálne číslo alebo kvalitatívnu vlastnosť.

Typy znakov:

• Kvantitatívny znak – vyjadriteľný číslom
  Príklady: vek, výška, hmotnosť
• Kvalitatívny znak – opisná vlastnosť
  Príklady: farba očí, pohlavie, národnosť

Hodnoty znaku označujeme:
x₁, x₂, ..., xₙ

Absolútna početnosť (nᵢ)

Udáva, koľkokrát sa hodnota xi vyskytuje v štatistickom súbore.

Relatívna početnosť (nᵢ / n)

Je podiel absolútnej početnosti a rozsahu súboru.
Udáva, aký podiel tvorí daná hodnota v celom súbore.

Grafické spracovanie údajov

(Príklady podľa tabuľky na strane 1 dokumentu )

Na spracovanie hodnôt často používame grafy, ktoré umožnia rýchle vizuálne porovnanie údajov.

Polygón početnosti

Je to spojnicový diagram.

• Absolútny polygón:
  • os x = hodnoty znaku (xi)
  • os y = absolútne početnosti (nᵢ)
• Relatívny polygón:
  • os x = hodnoty znaku
  • os y = relatívne početnosti (nᵢ / n)

V dokumente sú oba typy znázornené na grafoch (strana 2) .

Histogram

Stĺpcový diagram, ktorý zobrazuje početnosti intervalových alebo jednotlivých hodnôt.
Existuje:

• absolútny histogram
• relatívny histogram

Kruhový diagram

Zobrazuje podiely jednotlivých hodnôt v celku.
Na strane 2 dokumentu je uvedený kruhový diagram s legendou .

Charakteristiky štatistického súboru

Charakteristiky opisujú typické hodnoty súboru a rozptýlenie hodnôt okolo priemeru.

Aritmetický priemer

Označenie: x̄

Výpočet pre jednotlivé hodnoty:
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n

Ak majú hodnoty svoje početnosti nᵢ ⇒ vážený priemer:
x̄ = (n₁·x₁ + n₂·x₂ + ... + nₖ·xₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ)

Geometrický priemer

Označenie: X_G
Používa sa napr. pri výpočte priemerného tempa rastu.

X_G = n-tá odmocnina z (x₁ · x₂ · ... · xₙ)

Harmonický priemer

Označenie: X_H

X_H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ)

Medián

Označenie: med(x)
Je to prostredná hodnota v usporiadanom súbore.

• Ak je n nepárne: medián = prostredná hodnota
• Ak je n párne:
  med(x) = (xᵢ + xᵢ₊₁) / 2, kde i = n/2

Modus

Označenie: mod(x)
Najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v súbore.

Smerodajná odchýlka (s)

Udáva, ako veľmi sa hodnoty súboru odchyľujú od priemeru.

s = √(( Σ (xᵢ – x̄)² ) / n)

Rozptyl (s²)

Rozptyl je štvorec smerodajnej odchýlky.

s² = ( Σ (xᵢ – x̄)² ) / n

Hodnota s² informuje o tom, ako veľmi sú hodnoty rozptýlené okolo priemeru.

Korelácia – závislosť medzi dvoma znakmi

Koeficient korelácie (r)

r = k / (sₓ · sᵧ)

Koeficient r vyjadruje silu vzťahu medzi dvoma premennými (x a y).

Hodnotenie korelácie:

• r < 0,3 – slabá korelácia
• 0,3 ≤ r < 0,8 – stredná korelácia
• 0,8 ≤ r ≤ 1 – silná korelácia

Kovariancia (k)

k = ( Σ (xᵢ – x̄)(yᵢ – ȳ) ) / n

Smerodajné odchýlky znakov:

sₓ = √(( Σ (xᵢ – x̄)² ) / n)
sᵧ = √(( Σ (yᵢ – ȳ)² ) / n)

Vypracovanú maturitnú tému si môžeš pozrieť v dokumente PDF kliknutím na nasledujúci odkaz: Štatistika

Doporučujeme pozrieť aj iné vypracované témy na https://zmaturuj.zones.sk/vypracovane-maturitne-temy/