Teória čísel – maturitná téma

Teória čísel – maturitná téma

Základné pojmy

• Číslica (cifra) – grafická značka, ktorou sa zapisuje číslo.
• Číslo – vyjadruje počet alebo poradie, zapisujeme ho pomocou číslic.
• Ciferný súčet – súčet všetkých cifier daného čísla.
  Príklad: ciferný súčet čísla 512 je 5 + 1 + 2 = 8.

Prvočísla a zložené čísla

• Prvočíslo – prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré má práve dva rôzne celočíselné delitele (1 a samo seba).
  Príklady: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
• Zložené číslo – prirodzené číslo, ktoré má aspoň tri rôzne delitele.
  Príklady: 4, 6, 8, 9, 10, …
• Čísla 0 a 1 nie sú ani prvočísla, ani zložené čísla.
• Každé číslo n je deliteľné aspoň jedným prvočíslom p, pre ktoré platí p ≤ √n.

Súdeliteľnosť a nesúdeliteľnosť

• Dve čísla a a b sú súdeliteľné, ak majú spoločného deliteľa rôzneho od 1.
  Príklad: 9 a 12 sú súdeliteľné, pretože ich spoločný deliteľ je 3.
• Nesúdeliteľné čísla sú také, ktoré nemajú žiadneho spoločného deliteľa okrem 1.
  Príklad: 3 a 7 sú nesúdeliteľné.

Základná veta aritmetiky

• Každé prirodzené číslo možno jedinečným spôsobom zapísať ako súčin prvočísel.
  Príklad: 24 = 2 × 2 × 2 × 3

Najväčší spoločný deliteľ (NSD)

• NSD(a, b) je najväčšie prirodzené číslo, ktoré delí aj číslo a, aj číslo b.
• Určuje sa rozkladom na prvočinitele.
• Príklad:
  • Rozklad čísiel 28 a 42:
    28 = 2 × 2 × 7
    42 = 2 × 3 × 7
  • Najväčší spoločný deliteľ: NSD(28, 42) = 2 × 7 = 14

Najmenší spoločný násobok (NSN)

• NSN(a, b) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné oboma číslami.
• Určuje sa rozkladom na prvočinitele.
• Príklad:
  • Rozklad čísiel 12 a 8:
    12 = 2 × 2 × 3
    8 = 2 × 2 × 2
  • Najmenší spoločný násobok: NSN(12, 8) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

Kritériá deliteľnosti

• Číslo je deliteľné:
  • 2 – ak je párne (končí na 0, 2, 4, 6, 8).
  • 3 – ak je jeho ciferný súčet deliteľný tromi.
  • 4 – ak jeho posledné dve cifry tvoria číslo deliteľné 4.
  • 5 – ak sa končí na 0 alebo 5.
  • 6 – ak je deliteľné 2 aj 3.
  • 8 – ak jeho posledné tri cifry tvoria číslo deliteľné 8.
  • 9 – ak je jeho ciferný súčet deliteľný 9.
  • 10 – ak sa končí na 0.
  • 12 – ak je deliteľné 3 aj 4.
  • 15 – ak je deliteľné 3 aj 5.
  • 20, 25, 50 – ak jeho posledné dve cifry tvoria číslo deliteľné 20, 25 alebo 50.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.