Kvadratická funkcia – maturitná téma

Kvadratická funkcia – maturitná téma

Základný predpis kvadratickej funkcie

Kvadratická funkcia je daná vzorcom:
y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0.

Členy kvadratickej funkcie

• ax² – kvadratický člen (určuje tvar paraboly).
• bx – lineárny člen (ovplyvňuje sklon paraboly).
• c – absolútny člen (priesečník s osou y).

Grafom kvadratickej funkcie je parabola.

• Ak a > 0, parabola je otvorená nahor (má minimum).
• Ak a < 0, parabola je otvorená nadol (má maximum).

Vrcholy a vlastnosti kvadratickej funkcie

Vrchol paraboly je bod V(x, y), ktorý sa vypočíta:

• x-ová súradnica vrcholu:
  xv=−b2axv=−2ab
• y-ová súradnica vrcholu:
  yv=f(xv)=a(xv)2+b(xv)+cyv=f(xv)=a(xv)2+b(xv)+c

Parabola je súmerná podľa osi x = x_v.

Vlastnosti funkcie y = x²

• Definičný obor: D(f) = R (všetky reálne čísla).
• Obor hodnôt: H(f) = ⟨0, ∞) (pre a > 0).
• Párna funkcia (súmerná podľa osi y).
• Nie je prostá (pre rôzne x môže mať rovnaké y).
• Minimum v bode (0,0) (pre základnú funkciu y = x²).
• Nie je periodická.
• Zdola ohraničená osou x.
• Zhora nie je ohraničená (ak a > 0).

Prepis kvadratickej funkcie na vrcholový tvar

Kvadratickú funkciu môžeme prepísať na tvar:

y = a(x – B)² + C

• B – posun paraboly v smere osi x.
• C – posun paraboly v smere osi y.

Príklad úpravy:
y=x2−6x+7y=x2−6x+7
Prepis na vrcholový tvar:
y=(x−3)2−2y=(x−3)2−2
Vrchol paraboly: V(3, -2).

Priesečníky s osami

• S osou y: Dosadíme x = 0, teda priesečník je (0, c).
• S osou x: Riešime rovnicu ax² + bx + c = 0.

Používame kvadratickú rovnicu:
x=−b±b2−4ac2ax=2a−b±b2−4ac
Diskriminant: D = b² – 4ac.

• Ak D > 0, funkcia má dva rôzne korene.
• Ak D = 0, funkcia má jeden dvojnásobný koreň.
• Ak D < 0, funkcia nemá reálne korene.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.