Inverzná funkcia – maturitná téma

Inverzná funkcia – maturitná téma

Čo je inverzná funkcia?

Inverzná funkcia f⁻¹ je funkcia, ktorá k danej funkcii f(x) priraďuje hodnoty tak, že sa pôvodná hodnota x a výsledná hodnota y vymenia.

To znamená, že pre inverznú funkciu platí:
Ak f(x) = y, tak f⁻¹(y) = x.

Podmienky existencie inverznej funkcie

Inverzná funkcia f⁻¹ existuje iba vtedy, ak je pôvodná funkcia f(x) prostá (každému x priraďuje jedinečné y).

Vlastnosti inverznej funkcie

• Grafy funkcie f(x) a f⁻¹(x) sú súmerné podľa priamky y = x.
• Definičný obor inverznej funkcie je obor hodnôt pôvodnej funkcie:
  D(f⁻¹) = H(f)
• Obor hodnôt inverznej funkcie je definičný obor pôvodnej funkcie:
  H(f⁻¹) = D(f)

Postup pri hľadaní inverznej funkcie

1. Vyjadrenie funkcie v tvare y = f(x).
2. Zameníme x a y.
3. Vyjadríme y ako funkciu x.
4. Novú funkciu označíme f⁻¹(x).

Príklad: Inverzná funkcia lineárnej funkcie

Dajme tomu, že máme funkciu:
f(x) = 2x + 1

Postup:

1. Vyjadríme ako y: y = 2x + 1.
2. Zameniame x a y: x = 2y + 1.
3. Vyjadríme y:
   x – 1 = 2y
   y = (x – 1) / 2.
4. Inverzná funkcia je:
   f⁻¹(x) = (x – 1) / 2.

Príklad: Inverzná funkcia kvadratickej funkcie

Pre funkciu f(x) = x²(iba na intervale x ≥ 0, aby bola prostá).

Postup:

1. Vyjadríme ako y: y = x².
2. Zameniame x a y: x = y².
3. Vyjadríme y:
   y = √x.
4. Inverzná funkcia je:
   f⁻¹(x) = √x.

Grafické vlastnosti inverznej funkcie

• Grafy f(x) a f⁻¹(x) sú vždy zrkadlovo súmerné podľa priamky y = x.
• Ak má funkcia f(x) rastúci charakter, aj f⁻¹(x) bude rastúca.
• Ak má funkcia f(x) klesajúci charakter, aj f⁻¹(x) bude klesajúca.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.