Aritmetická postupnosť – maturitná téma

Aritmetická postupnosť – maturitná téma

Definícia aritmetickej postupnosti

Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi je konštantný.
Tento rozdiel nazývame diferencia d.

Všeobecná podmienka:
a_(n+1) = a_n + d, kde d je konštantná diferencia.

Vlastnosti aritmetickej postupnosti

• Ak d > 0, postupnosť je rastúca.
• Ak d < 0, postupnosť je klesajúca.
• Ak d = 0, postupnosť je konštantná.
• Grafom aritmetickej postupnosti je množina izolovaných bodov ležiacich na jednej priamke.

Všeobecný vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti

Pre ľubovoľný člen aritmetickej postupnosti platí vzorec:
a_n = a_1 + (n – 1) * d, kde:

• a_n je n-tý člen postupnosti,
• a_1 je prvý člen postupnosti,
• d je diferencia,
• n je poradové číslo člena.

Príklad:
Ak máme postupnosť {3, 7, 11, 15, ...}, potom:

• a_1 = 3, d = 4,
• a_5 = 3 + (5 – 1) * 4 = 19.

Vzťah medzi dvoma ľubovoľnými členmi postupnosti

Všeobecný vzorec medzi členmi postupnosti:
a_s = a_r + (s – r) * d
Tento vzorec umožňuje vypočítať ľubovoľný člen postupnosti bez toho, aby sme potrebovali prvý člen.

Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti

Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti vypočítame podľa vzorca:
S_n = (n / 2) * (2a_1 + (n – 1) * d)
alebo
S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)

Príklad:
Ak máme postupnosť {2, 5, 8, 11, ...} a chceme nájsť súčet prvých 10 členov:

• a_1 = 2, d = 3, n = 10
• a_10 = 2 + (10 – 1) * 3 = 29
• S_10 = (10 / 2) * (2 + 29) = 5 * 31 = 155.

Aritmetický priemer

V aritmetickej postupnosti platí, že každý člen (okrem prvého a posledného) je aritmetickým priemerom svojich susedných členov.

Vzorec pre aritmetický priemer:
a_n = (a_(n-1) + a_(n+1)) / 2

Príklad:
Ak poznáme členy a_4 = 10 a a_6 = 14, môžeme vypočítať a_5:
a_5 = (10 + 14) / 2 = 12.

Graf aritmetickej postupnosti

• Grafom aritmetickej postupnosti je sústava bodov ležiacich na priamke.
• Body sú diskrétne, pretože postupnosť je definovaná len pre prirodzené čísla n.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.