Trojuholník – maturitná téma

Trojuholník – maturitná téma

Definícia trojuholníka

Trojuholník je geometrický útvar, ktorý je určený tromi bodmi v rovine, ktoré neležia na jednej priamke. Značíme ho Δ ABC.

Prvky trojuholníka

• Strany: a, b, c (úsečky spájajúce vrcholy).
• Vrcholy: A, B, C.
• Vnútorné uhly: α, β, γ.

Druhy trojuholníkov

Podľa veľkosti uhlov

• Ostrouhlý trojuholník – všetky vnútorné uhly sú menšie ako 90°.
• Tupouhlý trojuholník – má jeden uhol väčší ako 90°.
• Pravouhlý trojuholník – má jeden pravý uhol (90°).

Podľa dĺžok strán

• Rovnostranný trojuholník – všetky strany sú zhodné (a = b = c).
• Rovnoramenný trojuholník – dve strany sú zhodné (a = b ≠ c).
• Všeobecný trojuholník – všetky strany sú rôzne dlhé (a ≠ b ≠ c).

Trojuholníková nerovnosť

V každom trojuholníku platí, že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako tretia strana:

• a + b > c
• b + c > a
• c + a > b

Ak niektorá z týchto podmienok neplatí, trojuholník neexistuje.

Uhly v trojuholníku

• Súčet vnútorných uhlov je vždy 180°:
  α + β + γ = 180°.
• Vonkajší uhol pri vrchole je súčet dvoch vnútorných uhlov pri zvyšných dvoch vrcholoch.

Výška trojuholníka

• Výška trojuholníka je kolmá úsečka spustená z vrcholu na protiľahlú stranu.
• Všetky výšky sa pretínajú v bode nazývanom ortocentrum O.

Ťažnica a ťažisko trojuholníka

• Ťažnica spája vrchol so stredom protiľahlej strany.
• Ťažnice sa pretínajú v ťažisku T, ktoré delí každú ťažnicu v pomere 2:1.

Eulerova priamka

• Priamka, na ktorej leží ortocentrum, ťažisko a priesečník osí strán trojuholníka.
• Platí vzťah: OT / ST = 2 / 1.

Stredná priečka trojuholníka

• Úsečka, ktorá spája stredy dvoch strán trojuholníka.
• Je rovnobežná s treťou stranou a jej dĺžka je polovica tejto strany.

Kružnice súvisiace s trojuholníkom

Opísaná kružnica

• Kružnica prechádzajúca všetkými tromi vrcholmi trojuholníka.
• Stred opísanej kružnice leží na priesečníku osí strán.

Vpísaná kružnica

• Kružnica dotýkajúca sa všetkých troch strán trojuholníka.
• Stred vpísanej kružnice leží na priesečníku osí uhlov.

Obsah a obvod trojuholníka

• Obvod trojuholníka:
  o = a + b + c.
• Obsah trojuholníka:
  S = (a * v_a) / 2 (výška v_a na stranu a).
  S = (b * v_b) / 2 (výška v_b na stranu b).
  S = (c * v_c) / 2 (výška v_c na stranu c).

Ak poznáme všetky tri strany, obsah vieme vypočítať Heronovým vzorcom:
S = √[s * (s – a) * (s – b) * (s – c)], kde s = (a + b + c) / 2.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.